Chủ đề này có 2 trả lời

[tohoproirac]

cho A=$ \begin{Bmatrix} 1,2,3,,....,2014 \end{Bmatrix}$

Có bao nhiêu cặp tập con ($ A_{1}$,$ A_{2}$) sao cho $ A_{1}\bigcup A_{2}=A$

[shinichigl]

cho A=$ \begin{Bmatrix} 1,2,3,,....,2014 \end{Bmatrix}$

Có bao nhiêu cặp tập con ($ A_{1}$,$ A_{2}$) sao cho $ A_{1}\bigcup A_{2}=A$

Cặp tập con $\left ( A_{1},A_{2} \right )$ có thứ tự hay không thứ tự hả bạn?

Mình làm trường hợp không có thứ tự

Ta tổng quát bài toán:

Cho A=$ \begin{Bmatrix} 1,2,3,,....,n \end{Bmatrix}$

Có bao nhiêu cặp tập con ($ A_{1}$,$ A_{2}$) sao cho $ A_{1}\bigcup A_{2}=A$

 

Ta sẽ đếm số cách xếp mỗi phần tử $x\in A$ vào hai tập con $B$ và $C$ bất kì của $A$

Rõ ràng có 4 cách để xếp

i) $x$ thuộc $B$ nhưng không thuộc $C$;

ii) $x$ thuộc $C$ nhưng không thuộc $B$;

iii) $x$ thuộc cả $B$ và $C$;

iiii) $x$ không thuộc cả $B$ và $C$,

Xét hai tập con $ A_{1}$, $ A_{2}$ của $A$ thõa mãn bài toán

Theo đề bài thì $ A_{1}\bigcup A_{2}=A$, nghĩa là theo cách xếp như trên thì ta không tính trường hợp iiii), từ đó ta có 3 cách chọn

Mặt khác, do không kể thứ tự cặp ($ A_{1}$,$ A_{2}$) nên có sự đối xứng giữa $ A_{1}$,$ A_{2}$ (tức là cách chọn $x$ thuộc $ A_{1}$ nhưng không thuộc $ A_{2}$ và cách chọn $x$ thuộc $ A_{2}$ nhưng không thuộc $ A_{1}$ là giống nhau ). Chú ý thêm có một trường hợp đặc biệt là khi $A_{1}=A_{2}$ thì phải có $A_{1}=A_{2}=A$ nên chỉ có một cách chọn. Ta bỏ trường hợp này ra, chia đôi các trường hợp còn lại rồi cộng trường hợp này vào thì có số cách sắp xếp là $\frac{3^{n}-1}{2}+1=\frac{3^{n}+1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 11-09-2014 - 16:02

[tohoproirac]

Hay hay ^^