2 replies to this topic

[HoangHungChelski]

Cho $f_1(x),f_2(x)\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $f(x)=f_1(x^3)+xf_2(x^3)\vdots x^2+x+1$. 

CMR: $f_1(x),f_2(x)\vdots x-1$

[chardhdmovies]

 

Cho $f_1(x),f_2(x)\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $f(x)=f_1(x^3)+xf_2(x^3)\vdots x^2+x+1$. 

CMR: $f_1(x),f_2(x)\vdots x-1$

 

mình nhớ là đã đọc bài này ở cuốn "chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thcs phần đa thức "của thầy Phan Huy Khải

lúc đó mượn giờ ở đâu mình quên mất cũng chả nhớ cách giải nữa

 

NTP

Edited by chardhdmovies, 20-09-2014 - 05:15.

[Kool LL]

Cho $f_1(x),f_2(x)\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $f(x)=f_1(x^3)+xf_2(x^3)\vdots x^2+x+1$. 

CMR: $f_1(x),f_2(x)\vdots x-1$

 

Bổ đề : $f(x)-f(a)\ \vdots\ x-a,\ \forall f\in\mathbb{Z}[x]$

 

Ta có : $f_1(x^3)-f_1(1)\ \vdots\ x^3-1$   và   $f_2(x^3)-f_2(1)\ \vdots\ x^3-1$

 

$\Rightarrow\left[f_1(x^3)+x.f_2(x^3)\right]-\left[f_1(1)+x.f_2(1)\right]$$=\left[f_1(x^3)-f_1(1)\right]+x.\left[f_2(x^3)-f_2(1)\right]\ \ \vdots\ x^3-1\ \ \vdots\ x^2+x+1$

 

Kết hợp (gt) $\Rightarrow \left[f_1(1)+x.f_2(1)\right]\ \vdots\ x^2+x+1$

 

Mà $\deg\left[f_1(1)+x.f_2(1)\right]<2$ nên suy ra $\left[f_1(1)+x.f_2(1)\right]\equiv0,\ \forall x$  $\Rightarrow f_1(1)=f_2(1)=0$

 

Suy ra $f_1(x^3)\ \vdots\ x^3-1$   và   $f_2(x^3)\ \vdots\ x^3-1$

 

Vậy $f_1(x),f_2(x)\ \vdots\ x-1$. (đpcm)

Edited by Kool LL, 20-09-2014 - 07:54.