Chủ đề này có 2 trả lời

[Phuong Mark]

Cho $a,b,c>0.$ Tìm:
 

$P_{max}=\frac{a\left ( b+c \right )}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(a+c)}{(b+c)^{2}+b^{2}}+\frac{c(b+c)}{(b+a)^{2}+c^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 16-09-2014 - 20:50

[hoctrocuanewton]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \sum \frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}= \sum \frac{4a}{4a+3b+3c}= 3-\sum \frac{3(b+c)}{4a+3b+3c}(1)$

 

Xét $A=\sum \frac{3(b+c)}{4a+3b+3c}$

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$A=\sum \frac{3(b+c)}{4a+3b+3c}= \sum \frac{3(b+c)^{2}}{4a(b+c)+3(b+c)^{2}}\geq \frac{12(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)+6(a+b+c)^{2}}\geq \frac{12(\sum a)^{2}}{\frac{2}{3}(\sum a)^{2}+6(\sum a)^{2}}= \frac{9}{5}(2)$

Từ (1)và (2) suy ra :

$P=\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 3-\frac{9}{5}= \frac{6}{5}$

Vậy $MaxP= \frac{6}{5}$  . Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 16-09-2014 - 21:23

[Nguyentiendung9372]

Chuẩn hóa  $a+b+c=3$

$$P=\sum {{{a\left( {b + c} \right)} \over {{{\left( {b + c} \right)}^2} + {a^2}}}}  = \sum {{{3 - {a^2}} \over {2{a^2} - 6a + 9}}} $$

Ta có BĐT sau với $\forall x \in \left[ {0,3} \right]$

$${{3 - {x^2}} \over {2{x^2} - 6x + 9}} \le {2 \over 5} - {6 \over {25}}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}{{345 - 60x} \over {25\left( {10{x^2} - 30x + 45} \right)}} \ge 0$$

Từ đó ta có 

$${{3 - {a^2}} \over {2{a^2} - 6a + 9}} \le {2 \over 5} - {6 \over {25}}\left( {a - 1} \right)$$

$${{3 - {b^2}} \over {2{b^2} - 6b + 9}} \le {2 \over 5} - {6 \over {25}}\left( {b - 1} \right)$$

$${{3 - {c^2}} \over {2{c^2} - 6c + 9}} \le {2 \over 5} - {6 \over {25}}\left( {c - 1} \right)$$

Cộng các BĐT lại được $P \le {6 \over 5}$.

Vậy $\max P = {6 \over 5}$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$