Chủ đề này có 3 trả lời

[Juliel]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

[Hoang Tung 126]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

-Cho $x=y= > f(f(x)-f(x))=0= > f(0)=0$

 

-Cho $y=0= > f(f(x)-f(0))=x^2f(x)=f(f(x))$ (do $f(0)=0$)  (1)

 

-Giả sử $f(x_{1})=f(x_{2})$ với mọi $x_{1},x_{2}$ thuộc $R$)  (2)

 

-Thay x bởi $x_{1},x_{2}$ vào (1) và sử dụng (2)  $= > \left\{\begin{matrix} f(f(x_{1}))=x_{1}^2f(x_{1}) & \\ f(f(x_{2}))=x_{2}^2f(x_{2})& \end{matrix}\right.$

 

                  $= > x_{1}^2=x_{2}^2= > x_{1}=x_{2}$ với mọi $x_{1},x_{2}\geq 0$

 

-Do đó hàm f đơn ánh 

 

-Cho $y=-x$ vào đề bài từ tính đơn ánh  và sử dụng $f(0)=0$ $= > f(f(x)-f(-x))=(x+x)^2f(x-x)=4x^2.f(0)=0=f(0)= > f(x)-f(-x)=0= > f(x)=f(-x)= > f$ là hàm chẵn nên ta xét trên các số thực dương.

 

Thay $y$ bởi $-y= > f(f(x)-f(-y))=(x+y)^2f(x-y)=f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y)= > \frac{f(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{f(x+y)}{(x+y)^2}=c= > f(x)=cx^2$(do $f(y)=f(-y)$)

 

-Thay vào đề bài $f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y)< = > f(cx^2-cy^2)=(x-y)^2.c(x+y)^2< = > c(cx^2-cy^2)^2=(x^2-y^2)^2.c< = > c^5=c= > c=0$ hoặc $c=1,-1$

 

                       Vậy $f(x)\equiv 0,f(x)=x^2,f(x)=-x^2$

[Juliel]

-Cho $x=y= > f(f(x)-f(x))=0= > f(0)=0$

 

-Cho $y=0= > f(f(x)-f(0))=x^2f(x)=f(f(x))$ (do $f(0)=0$)  (1)

 

-Giả sử $f(x_{1})=f(x_{2})$ với mọi $x_{1},x_{2}$ thuộc $R$)  (2)

 

-Thay x bởi $x_{1},x_{2}$ vào (1) và sử dụng (2)  $= > \left\{\begin{matrix} f(f(x_{1}))=x_{1}^2f(x_{1}) & \\ f(f(x_{2}))=x_{2}^2f(x_{2})& \end{matrix}\right.$

 

                  $= > x_{1}^2=x_{2}^2= > x_{1}=x_{2}$ với mọi $x_{1},x_{2}\geq 0$

 

-Do đó hàm f đơn ánh 

 

-Cho $y=-x$ vào đề bài từ tính đơn ánh  và sử dụng $f(0)=0$ $= > f(f(x)-f(-x))=(x+x)^2f(x-x)=4x^2.f(0)=0=f(0)= > f(x)-f(-x)=0= > f(x)=f(-x)= > f$ là hàm chẵn nên ta xét trên các số thực dương.

 

Thay $y$ bởi $-y= > f(f(x)-f(-y))=(x+y)^2f(x-y)=f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y)= > \frac{f(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{f(x+y)}{(x+y)^2}=c= > f(x)=cx^2$(do $f(y)=f(-y)$)

 

-Thay vào đề bài $f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y)< = > f(cx^2-cy^2)=(x-y)^2.c(x+y)^2< = > c(cx^2-cy^2)^2=(x^2-y^2)^2.c< = > c^5=c= > c=0$ hoặc $c=1,-1$

 

                       Vậy $f(x)\equiv 0,f(x)=x^2,f(x)=-x^2$

Lời giải sai rồi, phải xét trên $R$ chứ sao xét mỗi trên $R^+$ vậy. Bạn sử dụng tính đơn ánh mới suy ra được hàm chẵn, nên không thể lấy kết quả hàm chẵn mà xét trên $R^+$ trước được.

[Kool LL]

-Cho $x=y= > f(f(x)-f(x))=0= > f(0)=0$

 

-Cho $y=0= > f(f(x)-f(0))=x^2f(x)=f(f(x))$ (do $f(0)=0$)  (1)

 

-Giả sử $f(x_{1})=f(x_{2})$ với mọi $x_{1},x_{2}$ thuộc $R$)  (2)

 

-Thay x bởi $x_{1},x_{2}$ vào (1) và sử dụng (2)  $= > \left\{\begin{matrix} f(f(x_{1}))=x_{1}^2f(x_{1}) & \\ f(f(x_{2}))=x_{2}^2f(x_{2})& \end{matrix}\right.$

 

                  $= > x_{1}^2=x_{2}^2= > x_{1}=x_{2}$ với mọi $x_{1},x_{2}\geq 0$

 

-Do đó hàm f đơn ánh 

 

-Cho $y=-x$ vào đề bài từ tính đơn ánh  và sử dụng $f(0)=0$ $= > f(f(x)-f(-x))=(x+x)^2f(x-x)=4x^2.f(0)=0=f(0)= > f(x)-f(-x)=0= > f(x)=f(-x)= > f$ là hàm chẵn nên ta xét trên các số thực dương.

 

Thay $y$ bởi $-y= > f(f(x)-f(-y))=(x+y)^2f(x-y)=f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y)= > \frac{f(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{f(x+y)}{(x+y)^2}=c= > f(x)=cx^2$(do $f(y)=f(-y)$)

 

-Thay vào đề bài $f(f(x)-f(y))=(x-y)^2f(x+y)< = > f(cx^2-cy^2)=(x-y)^2.c(x+y)^2< = > c(cx^2-cy^2)^2=(x^2-y^2)^2.c< = > c^5=c= > c=0$ hoặc $c=1,-1$

 

                       Vậy $f(x)\equiv 0,f(x)=x^2,f(x)=-x^2$

 

Lời giải sai rồi, phải xét trên $R$ chứ sao xét mỗi trên $R^+$ vậy. Bạn sử dụng tính đơn ánh mới suy ra được hàm chẵn, nên không thể lấy kết quả hàm chẵn mà xét trên $R^+$ trước được.

 

Chỗ màu đỏ : Phải là giả sử $f(x_1)=f(x_2)$ với $x_1,x_2$ (bất kì nào đó) $\in\mathbb{R}$ thì mới đúng, chứ nếu $f(x_1)=f(x_2)\ \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thì suy ra $f$ là hàm hằng luôn rồi.

 

Chỗ màu xanh : chỗ này lỗi sai khá nặng. Từ dòng trên suy ra $(x_1^2-x_2^2).f(x_1)=0$, từ đây chưa thể suy ra ngay dòng dưới $x_1^2=x_2^2$ được vì chưa có $f(x_1)\ne0$ ???

 

Và từ $x_1^2=x_2^2$ thì phải $\Leftrightarrow x_1=x_2$ hoặc $x_1=-x_2$. Còn bạn thì suy ra $x_1=x_2$ với $x_1,x_2\ge0$, trong khi đâu có biết chắc $x_1,x_2\ge0$ hay không ??? (vì bạn đã hiểu sai ngay từ việc giả sử với mọi $x_1,x_2$).

 

Thêm nữa, từ $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ (với $x_1=x_2\ge0$) chưa thể suy ra ngay $f$ đơn ánh được. Vì khi nói hàm là đơn ánh thì phải hiểu là đơn ánh trên cả miền xác định của nó (ở đây là $\mathbb{R}$), nếu không thì bạn phải nói rõ là hàm đơn ánh từ $\mathbb{R}_{\ge0}\to\mathbb{R}$ mới được.

 

Chỗ màu tím : Từ $f[f(x)-f(-x)]=f(0),\ \forall x\in\mathbb{R}$ và $f$ là đơn ánh từ $\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ thì chưa thể suy ra $f(x)-f(-x)=0$ vì chưa có $f(x)-f(-x)\ge0$ ??? (chỉ mới có tính đơn ánh trên $\mathbb{R}_{\ge0}\to\mathbb{R} thôi)$.

 

Vài điều góp ý, bấy nhiêu lỗi thì cũng đủ thấy bài giải này không đúng rồi bạn !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 26-09-2014 - 22:47