Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhthanhtoan]

Cho hàm số  $y=-x^{3}+3x^{2}-2 (C)$. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng $x=2$ mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số.

[phan huong]

Cho hàm số  $y=-x^{3}+3x^{2}-2 (C)$. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng $x=2$ mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số.

Gọi A(2, a) nằm trên đt x=2

y'=$-3x^{2}+6x$

phương trình tiếp tuyến tại M($m;-m^{3}+3m^{2}-2$) với (C) là:

(d) y=($-3m^{2}+6m$)(x-m) -m^{3}+3m^{2}-2$

d dia qua A(2, a) =>($-3m^{2}+6m$)(2-m) -m^{3}+3m^{2}-2$= a

<=>$=2m^{3}-9m^{2}+12m -2 -a=0$(1)

xét hàm f(m) =$=2m^{3}-9m^{2}+12m -2 -a$ trên R

có f'(m)=$6m^{2}-18m +12$

để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) thì pt (1) có 3 nghiệm phân biệt <=>$\left\{\begin{matrix} f'(m)=0 có 2 nghiệm phân biệt  m_{1}, m_{2} & \\ f(m_{1})f(m_{2})<0 & \end{matrix}\right.$

mà f'(m)=0 luôn có 2 nghiệm m₁=1 và m₂=2 => để thỏa mãn bài toán thì (2-9+12-2-a)(16-36+24-2-a)<0 <=> a>3 hoặ a<2