Chủ đề này có 9 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\ge 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\le \dfrac{9}{10}$

[datmc07061999]

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\ge 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\le \dfrac{9}{10}$

Dùng $UCT$ ta xác định được: $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{3}{10}+\frac{18}{5}(a-\frac{1}{3})\Leftrightarrow (3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$  (đúng)

 Vậy $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

   Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

     $Q.E.D$

   P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...

[Viet Hoang 99]

Hãy nghĩ cách dùng AM-GM nào các bạn!

[Phuong Mark]

có một các AM-GM nhưng hơi dài đó là :

^{$=3-(\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}$ cauchy rồi dùng AM-GM}

^{hoặc sử dụng bổ đề $\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1} \geq \frac{2}{yz+1}$}

[hoctrocuanewton]

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\ge 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\le \dfrac{9}{10}$

Áp dụng lần lượt BĐT Cô si và schwarz ta có :

 

$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}\leq \frac{1}{25}\sum (\frac{a}{\frac{2a}{3}}+\frac{4a}{\frac{2}{9}})= \frac{1}{25}\sum (\frac{3}{2}+18a)= \frac{1}{25}(\frac{9}{2}+18(a+b+c))= \frac{9}{10}$

 

Vậy ta được đpcm

[Viet Hoang 99]

có một các AM-GM nhưng hơi dài đó là :

^{$=3-(\frac{a^{2}}{a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{c^{2}+1}$ cauchy rồi dùng AM-GM}

^{hoặc sử dụng bổ đề $\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1} \geq \frac{2}{yz+1}$}

Sai rồi nhé! 

[Phuong Mark]

Sai rồi nhé! 

đó chỉ là hướng làm của mình thui mà.......... mà bạn thử coi xem mình sai ở đâu

.............. phần cauchy của mình là nhân thêm $4$ nữa thì mới Cauchy được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 25-09-2014 - 22:03

[Viet Hoang 99]

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\ge 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\le \dfrac{9}{10}$

Đề bài  là $\sum \dfrac{a}{a^2+1}\neq 1-\dfrac{a^2}{a^2+1}$

[Mikhail Leptchinski]

Đề bài  là $\sum \dfrac{a}{a^2+1}\neq 1-\dfrac{a^2}{a^2+1}$

Dùng AM-GM này anh:

Áp dụng bất đẳng có:

$x^2+1=x^2+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\geq 10\sqrt[10]{\frac{x^2}{9^}}9=10\sqrt[5]{\frac{x}{3^9}}$

Từ đó ta có:$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{3}{10}(\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y^4)}+\sqrt[5]{(3z)^4})$

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x+3x+3x+3x+1\geq \sqrt[5]{(3x)^4}$

Chứng minh tương tự ta được:

$5(\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y)^4}+\sqrt[5]{(3z)^4})\leq 12(x+y+z)+3=15=>\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y)^4}+\sqrt[5]{(3z)^4}\leq 3$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh nhé

 

P/S:Bài này còn có thể dùng phương pháp tiếp tuyến 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 05-10-2014 - 11:15

[Viet Hoang 99]

Dùng AM-GM này anh:

Áp dụng bất đẳng có:

$x^2+1=x^2+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\geq 10\sqrt[10]{\frac{x^2}{9^}}9=10\sqrt[5]{\frac{x}{3^9}}$

Từ đó ta có:$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{3}{10}(\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y^4)}+\sqrt[5]{(3z)^4})$

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x+3x+3x+3x+1\geq \sqrt[5]{(3x)^4}$

Chứng minh tương tự ta được:

$5(\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y)^4}+\sqrt[5]{(3z)^4})\leq 12(x+y+z)+3=15=>\sqrt[5]{(3x)^4}+\sqrt[5]{(3y)^4}+\sqrt[5]{(3z)^4}\leq 3$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh nhé

 

P/S:Bài này còn có thể dùng phương pháp tiếp tuyến 

Ờ, làm như anh hoctrocuanewton là AM-GM đơn giản nhất đấy!

 

P/s: Sai $\LaTeX$ kìa!

 

Phuong Mark có quả chữ ký đẹp nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 05-10-2014 - 10:51