Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Huy Hoang]

Cho $a,b,c > 0$ và $abc=1$ . CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} +3 \geq 2(a+b+c)$

[vuotquatrongai98]

Cho $a,b,c > 0$ và $abc=1$ . CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} +3 \geq 2(a+b+c)$

Đặt 1/a=x ,1/c=z; 1/b=y suy ra xyz=1 .

bdt tương đương : x²+ y²+z²+2xyz+1>= 2(xy+yz+xz)(1) (vì 2xyz +1=3)

trong 3 số (x-1);(y-1);(z-1)sẽ có ít nhất 2 số cùng dấu (nguyên lí DIRICHLET)

giả sử đó là (x-1);(y-1) =>z(x-1)(y-1)>=0 =>xyz >= xz+yz-z

vt (1)>= x_²+y²+z²+2(xz+yz-z)+1

        >=2xy +(z-1)² +2yz +2xz  

        =(2xy+2yz+2xz) (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuotquatrongai98: 28-09-2014 - 15:09

[KietLW9]

Cho $a,b,c > 0$ và $abc=1$ . CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} +3 \geq 2(a+b+c)$

Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:

$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$

Ta cần chứng minh: 

$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$