Chủ đề này có 2 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán :Đường tròn $(J)$ tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A, đồng thời tiếp xúc với hai cạnh AB và AC ở M và N.

Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

(IMO,Romania,1978)

[mnguyen99]

Bài toán :Đường tròn $(J)$ tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A, đồng thời tiếp xúc với hai cạnh AB và AC ở M và N.

Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

(IMO,Romania,1978)

Dễ dàng CM được $MN\left | \right |BC$

GỌi K là trung điểm của MN VÀ I là điểm tiêpps xúc giữa 2 đường tròn.

RÕ ràng A,K,I thẳng hàng.

Do đó tứ giác MKIB và NKIC là tứ giác nội tiếp.

ta có : $\widehat{BMI}=\widehat{BKI}\Rightarrow \widehat{MNI}=\widehat{BKI}$$\Rightarrow \widehat{MNI}+\widehat{KIN}=\widehat{BKI}+\widehat{KIN}\Leftrightarrow 90^{\circ}=\widehat{BKI}+\widehat{MIK}$

Nên KB vuông góc MI.Do đó $\widehat{KBC}=\widehat{MIK}$$=\widehat{MBK}$

Do đó K thuộc phân giác góc B.

CM tương tự Kcungx thuộc phân giác góc C.

$\Rightarrow đpcm$

[caybutbixanh]

Bài toán :Đường tròn $(J)$ tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A, đồng thời tiếp xúc với hai cạnh AB và AC ở M và N.

Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

(IMO,Romania,1978)

Một cách giải khác cho bài toán :

Gọi $K$ là điểm chung của hai đường tròn $(J)$ và $(O)$ (đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ); H,F lần lượt là trung điểm MN,BC

Tiếp tuyến tại $K$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D$ và $E$

Ta có :

$\frac{AJ}{AK}=\frac{AM}{AB}=\frac{AH}{AF}\Rightarrow \frac{AJ}{AH}=\frac{AK}{AF}=k;$

Xét phép vị tự$ V_{(A,k)}:\Delta ADE \mapsto \Delta ABC;\\$

                    Và $V_{(A,k)}: J \mapsto H$

 

Mà $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ADE$ nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (dpcm)

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đậm chất hình học 11