Chủ đề này có 1 trả lời

[AnhNgoc030201]

Chứng minh $\sum (a-b)^5\vdots 5\prod (a-b)$

[Namthemaster1234]

Đặt $a-b=x;b-c=y;c-a=z$ Như vậy ta có $x+y+z=0$

 

Ta phân tích  $x^5+y^5+z^5$ thành nhân tử và nhận thấy:

 

$x^5+y^5+z^5=(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)-x^2.y^2(x+y)-z^2.y^2(z+y)-x^2.z^2(x+z)=(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)-xyz(xy+yz+xz)$

 

Mặt khác: $x^3+y^3+z^3=3(x+y)(y+z)(x+z)$ và $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+xz)$ với $x+y+z=0$

 

Nên $x^5+y^5+z^5=-6(x+y)(y+z)(x+z)(xy+yz+xz)-xyz(xy+yz+zx)=-(xy+yz+xz)[6(x+y)(y+z)(x+z)+xyz]$ () 1)

 

Mặt khác $x=-(y+z), y=-(x+z); z=-(x+y)$ nên $xyz=-(x+y)(y+z)(y+z)$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra :

 

$x^5+y^5+z^5=-5(x+y)(y+z)(x+z)(xy+yz+xz)$

 

Hay $(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=5(a-b)(b-c)(a-c)(xy+yz+xz)$

 

=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 02-10-2014 - 16:26