Chứng minh $\sum (a-b)^5\vdots 5\prod (a-b)$
Chứng minh $\sum (a-b)^5\vdots 5\prod (a-b)$
#1
Đã gửi 30-09-2014 - 18:05
#2
Đã gửi 30-09-2014 - 18:07
Đặt $a-b=x;b-c=y;c-a=z$ Như vậy ta có $x+y+z=0$
Ta phân tích $x^5+y^5+z^5$ thành nhân tử và nhận thấy:
$x^5+y^5+z^5=(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)-x^2.y^2(x+y)-z^2.y^2(z+y)-x^2.z^2(x+z)=(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)-xyz(xy+yz+xz)$
Mặt khác: $x^3+y^3+z^3=3(x+y)(y+z)(x+z)$ và $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+xz)$ với $x+y+z=0$
Nên $x^5+y^5+z^5=-6(x+y)(y+z)(x+z)(xy+yz+xz)-xyz(xy+yz+zx)=-(xy+yz+xz)[6(x+y)(y+z)(x+z)+xyz]$ () 1)
Mặt khác $x=-(y+z), y=-(x+z); z=-(x+y)$ nên $xyz=-(x+y)(y+z)(y+z)$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra :
$x^5+y^5+z^5=-5(x+y)(y+z)(x+z)(xy+yz+xz)$
Hay $(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5=5(a-b)(b-c)(a-c)(xy+yz+xz)$
=> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 02-10-2014 - 16:26
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh