Chủ đề này có 3 trả lời

[Bui Ba Anh]

Cho $a,b,c,d \geq0$ và $r^4=abcd \geq 1$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{ab+1}{a+1} \geq \frac{4(1+r^2)}{1+r}$

Bài này trong cuốn sáng tạo $BĐT$ mà mình có đôi chỗ không hiểu

[Rias Gremory]

Cho $a,b,c,d \geq0$ và $r^4=abcd \geq 1$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{ab+1}{a+1} \geq \frac{4(1+r^2)}{1+r}$

Bài này trong cuốn sáng tạo $BĐT$ mà mình có đôi chỗ không hiểu

không hiểu chỗ nào ??

[Bui Ba Anh]

Dạ ở đoạn chứng minh $A= \frac{x+z}{ry+x}+\frac{x+z}{rt+z}+\frac{y+t}{rx+y}+\frac{y+t}{rz+t}\geq \frac{8}{r+1}$ ạ. Em chứng minh toàn bị ngược dấu 

[Kool LL]

Dạ ở đoạn chứng minh $A= \frac{x+z}{ry+x}+\frac{x+z}{rt+z}+\frac{y+t}{rx+y}+\frac{y+t}{rz+t}\geq \frac{8}{r+1}$ ạ. Em chứng minh toàn bị ngược dấu 

 

$A=(x+z)\left(\frac{1}{ry+x}+\frac{1}{rt+z}\right)+(y+t)\left(\frac{1}{rx+y}+\frac{1}{rz+t}\right)$

    $\overset{Côsi-Schwarz}{\ge}(x+z)\frac{4}{(x+z)+r(y+t)}+(y+t)\frac{4}{(y+t)+r(x+z)}$$=4\left[\frac{(x+z)^2}{(x+z)^2+r(x+z)(y+t)}+\frac{(y+t)^2}{(y+t)^2+r(y+t)(x+z)}\right]$

    $\overset{Côsi-Schwarz}{\ge}\frac{4(x+y+z+t)^2}{(x+z)^2+(y+t)^2+2r(x+z)(y+t)}\overset{(*)}{\ge}\frac{8}{r+1}$

 

$\begin{array}\ \text{Do (*)}&\Leftrightarrow 4(r+1)(x+y+z+t)^2\ge8[(x+z)^2+(y+t)^2+2r(x+z)(y+t)] \\ &\Leftrightarrow 4[(x+z)^2+(y+t)^2](r-1)\ge8(x+z)(y+t)(r-1) \\ &\Leftrightarrow 4[(x+z)-(y+t)]^2(r-1)\ge0\ (\text{Đúng}) \end{array}$