Chủ đề này có 4 trả lời

[bugatti]

Mọi người cho em hỏi tại sao có thể viết : $f_{(x)}^{(n)}=(f^{(n-1)}_{(x)})'$ mà không viết được $f_{(x)}^{(n)}=(f'_{(x)})^{(n-1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bugatti: 03-10-2014 - 00:08

[Kool LL]

Mọi người cho em hỏi tại sao có thể viết : $f_{(x)}^{(n)}=(f^{(n-1)}_{(x)})'$ mà không viết được $f_{(x)}^{(n)}=(f'_{(x)})^{(n-1)}$

 

Về mặt kết quả thì là như nhau (lí do kết quả bằng nhau là do hàm $f$ khi đó có đạo hàm cấp $n$). Nhưng :

Cách viết đầu mang ý nghĩa là cách tính truy hồi, tức là tính dần từ $f$, $f'$, $f''$, ... $f^{(n-1)}$ đến $f^{(n)}$. Còn một ý nghĩa nữa là "$f(x)$ có đạo hàm cấp $n$ khi $g(x)=f^{(n-1)}(x)$ có đạo hàm, và kí hiệu $f^{(n)}=g'(x)$.

Cách viết thứ hai ko toát lên được các điều trên.

 

Không phải hàm nào cũng có đạo hàm mọi cấp đâu. Ví dụ như hàm sau có đh cấp 1, nhưng không có đh cấp 2 :

$f(x)=\begin{cases}x &,\ x\le1 \\ x^2-x+1 &,\ x>1\end{cases}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 03-10-2014 - 16:10

[fghost]

mình vẫn thấy cách thứ hai cũng mang tính truy hồi. về mặt tính toán, cách thứ hai có vẻ hợp lý hơn, $f^{(n)}= (f')^{(n-1)}$ có nghĩa ta cần tính $f'$ trước, sau đó tính đạo hàm cấp $n-1$ của hàm vừa tính. 

 

còn vì sau nói cách thứ hai cũng mang tính truy hồi, thì ta thấy đạo hàm bậc $n$ được định nghĩa dựa trên đạo hàm bậc $n-1$ của hàm $f'$,... 

 

mình không thấy lý do vì sau cách thứ hai không hợp lý cả, có chăng chỉ là quy ước.

 

Về mặt kết quả thì là như nhau (lí do kết quả bằng nhau là do hàm $f$ khi đó có đạo hàm cấp $n$). Nhưng :

Cách viết đầu mang ý nghĩa là cách tính truy hồi, tức là tính dần từ $f$, $f'$, $f''$, ... $f^{(n-1)}$ đến $f^{(n)}$. Còn một ý nghĩa nữa là "$f(x)$ có đạo hàm cấp $n$ khi $g(x)=f^{(n-1)}(x)$ có đạo hàm, và kí hiệu $f^{(n)}=g'(x)$.

Cách viết thứ hai ko toát lên được các điều trên.

 

à mà vì sao $(x)$ nằm ở chỉ số vậy? dường như bạn kia gõ $f^{(n)}_{(x)}$, chứ không phải $f^{(n)}(x)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 03-10-2014 - 19:04

[Kool LL]

mình vẫn thấy cách thứ hai cũng mang tính truy hồi. về mặt tính toán, cách thứ hai có vẻ hợp lý hơn, $f^{(n)}= (f')^{(n-1)}$ có nghĩa ta cần tính $f'$ trước, sau đó tính đạo hàm cấp $n-1$ của hàm vừa tính. 

 

còn vì sau nói cách thứ hai cũng mang tính truy hồi, thì ta thấy đạo hàm bậc $n$ được định nghĩa dựa trên đạo hàm bậc $n-1$ của hàm $f'$,... 

 

mình không thấy lý do vì sau cách thứ hai không hợp lý cả, có chăng chỉ là quy ước.

 

 

à mà vì sao $(x)$ nằm ở chỉ số vậy? dường như bạn kia gõ $f^{(n)}_{(x)}$, chứ không phải $f^{(n)}(x)$.

 

Vậy là bạn chưa hiểu thế nào là tính truy hồi, thì sẽ có thể biểu diễn dưới dạng pt truy hồi. Chứ không phải chỉ có nghĩa là tính lùi không đâu (cả 2 cách viết đều cần phải tính lùi, tức là tính trước đạo hàm cấp thấp hơn từ $f',\ f'',\ f^{(3)},\ ...$).

Chẳng hạn gọi dãy hàm $F_n=f^{(n)}$ thì pt truy hồi ở đây chính là $F_n=(F_{n-1})'$.

Còn trong cách viết thứ hai, pt truy hồi của bạn là gì nhỉ !?

 

Như mình đã nói, công thức 1 chỉ dùng để định nghĩa và cho một cách tính đạo hàm cấp $n$ (cấp cao). Và muốn biết hàm $f$ với TXĐ $D_f$ có đạo hàm cấp $n$ hay không thì ta kiểm tra $F_{n-1}$ có đạo hàm trên $D_f$ hay không, tức là kiểm tra có tồn tại $\lim_{x\to x_0}\frac{F_{n-1}(x)-F_{n-1}(x_0)}{x-x_0}\ (\forall x_0\in D_f)$ hay không ? Và khi $f$ có đạo hàm cấp $n$ rồi thì có thể dùng thoải mái công thức sau đây : $f^{(n)}\equiv (f^{(i)})^{(j)}$ ($\forall i+j=n$).

 

Cách viết $f'_x$ tức là tính đạo hàm của $f$ theo biến $x$ (trong đó, $f$ có thể là hàm một biến hoặc nhiều biến). Còn $f(x)$ là hàm số một biến $x$. Khi đã biết rõ hàm $f$ chỉ có 1 biến $x$ và không sợ gây nhầm lẫn gì thì đạo hàm của hàm $f$ có thể viết là $f'_x(x)$, hoặc gọn hơn là $f'(x)$, và khi không nhắc đến ẩn $x$ thì gọn hơn nữa là $f'$.

[fghost]

Vậy là bạn chưa hiểu thế nào là tính truy hồi, thì sẽ có thể biểu diễn dưới dạng pt truy hồi. Chứ không phải chỉ có nghĩa là tính lùi không đâu (cả 2 cách viết đều cần phải tính lùi, tức là tính trước đạo hàm cấp thấp hơn từ $f',\ f'',\ f^{(3)},\ ...$).

Chẳng hạn gọi dãy hàm $F_n=f^{(n)}$ thì pt truy hồi ở đây chính là $F_n=(F_{n-1})'$.

Còn trong cách viết thứ hai, pt truy hồi của bạn là gì nhỉ !?

 

à, mình đã nghĩ đến "quy nạp" (tính lùi theo cách nói của bạn), chứ không phải truy hồi. 

 

Cách viết $f'_x$ tức là tính đạo hàm của $f$ theo biến $x$ (trong đó, $f$ có thể là hàm một biến hoặc nhiều biến). Còn $f(x)$ là hàm số một biến $x$. Khi đã biết rõ hàm $f$ chỉ có 1 biến $x$ và không sợ gây nhầm lẫn gì thì đạo hàm của hàm $f$ có thể viết là $f'_x(x)$, hoặc gọn hơn là $f'(x)$, và khi không nhắc đến ẩn $x$ thì gọn hơn nữa là $f'$.

 

còn cách viết đó thì hơi lạ 1 chút, thường với hàm nhiều biến, đạo hàm riêng theo biến $x$ thường được viết là $f_x$ (không có dấu ' phía trên và không có dấu ngoặc phía dưới) hay $\frac{d}{dx}f$ (với script $d$), mà bạn chủ thread viết $f'_{(x)}$ nên mình thấy hơi lạ.