Chủ đề này có 1 trả lời

[khavanloi]

Mọi người giúp mình bài này:

Cho dãy số xác định bởi:

$U_{1}= \frac{\pi }{4}, U_{n+1}=\frac{4}{5}U_{n}^2-U_{n}+1$.

Tính  $\lim U_{n}$. 

[TonnyMon97]

Bằng qui nạp ta chứng minh được: $\frac{11}{16}<U_n<1$

*Chứng minh.

+$U_{n+1}=(\frac{2U_n}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}}{4})^2+\frac{11}{16}>\frac{11}{16}$

+Dễ thấy $U_1<1$. Giả sử $U_n<1$ ta có $U_{n+1}-1=U_n(\frac{4}{5}U_n-1)<0 \Rightarrow  U_{n+1}<1$

Xét hàm số: $f(x)=\frac{4}{5}x^2-x+1;  (x\in(\frac{11}{16};1))$; $f'(x)=\frac{8}{5}x-1$

Gọi $L$ là nghiệm của phương trình: $x=\frac{4}{5}x^2-x+1 $;  $x\in(\frac{11}{16};1) \Rightarrow L=\frac{5-\sqrt{5}}{4}$

Ta có: $\left | U_{n+1}-L \right |=\left | f(U_n)-f(L) \right |$

Mà theo định lý Lagrange: $\left | f(U_n)-f(L) \right |=\left | f'(x) \right |\left | U_n-L \right |$

Do $\left | f'(x) \right |\le \frac{3}{5}\Rightarrow \left | f(U_n)-f(L) \right |\le \frac{3}{5}\left | U_n-L \right |$

Suy ra: $\left | U_{n+1}-L \right |\le \frac{3}{5}\left | U_n-L \right |\le...\le(\frac{3}{5})^n\left | U_1-L \right |$

$\lim (\frac{3}{5})^n=0\Rightarrow \lim (U_{n+1}-L)=0\Rightarrow \lim U_{n+1}=L$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TonnyMon97: 12-10-2014 - 09:21