Chủ đề này có 3 trả lời

[hello123321]

1. cho (Cm): $y=x^{3}-3mx^{2}+2m(m-4)x+9m^{2}-m$

tìm m để cho (Cm) giao Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau

2. cho hàm số $y=(\left | x \right |+1)^{2}(\left | x \right |-1)^{2}$

cho điểm A(a;0). tìm a để từ A kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (C)

[thanhthanhtoan]

1. cho (Cm): $y=x^{3}-3mx^{2}+2m(m-4)x+9m^{2}-m$

tìm m để cho (Cm) giao Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau

2. cho hàm số $y=(\left | x \right |+1)^{2}(\left | x \right |-1)^{2}$

cho điểm A(a;0). tìm a để từ A kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (C)

 

(Theo lý thuyết: để phương trình bậc ba $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì đạo hàm $f'(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ và $f(x_{1}).f(x_{2})<0$ )

Do ta không nhẩm được nghiệm của phương trình bậc 3 này nên phải làm theo cách như lý thuyết nói ở trên.

 

Câu 1)

Mình chỉ có hướng giải chứ chưa giải được ra kết quả cụ thể.

Tuy nhiên dựa vào phần mềm vẽ hình Geogebra mình có thể cho bạn kết quả chính xác dưới đây. Nếu bạn đã có lời giải thì post lên cho mọi người cùng xem nhé.

Giải: Phương trình $ox: y=0$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $x^{3}-3mx^{2}+2m(m-4)x+9m^{2}-m=0 (*)$

Xét hàm số $f(x)=x^{3}-3mx^{2}+2m(m-4)x+9m^{2}-m$

$f'(x)=3x^{2}-6mx+2m(m-4)$

Để $C_{m}\cap ox$ tại 3 điểm phân biệt thì $(*)$ có $3$ nghiệm phân biệt, thì $f'(x) = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ và $f(x_{1}).f(x_{2})<0$

$\Leftrightarrow\left\{  \begin{array}{l}  \Delta_{f'(x)}>0  \\ f(x_{1}).f(x_{2})<0      \end{array}  \right.$

$+\Delta_{f'(x)}> 0\Leftrightarrow 3m^{2}+24m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  m< -8\\ m> 0 \end{array} \right.$

$+$  Với $\left[ \begin{array}{l}  m< -8\\ m> 0 \end{array} \right.$, tìm $2$ nghiệm $x_{1}, x_{2}$ rồi thế vào $f(x)$, giải $f(x_{1}).f(x_{2})<0$

$+$ Tiếp theo tìm điều kiện để $C_{m}\cap ox$ tại $3$ điểm phân biệt cách đều nhau thì với $x_{2}, x_{2}, x_{3}$ là nghiệm của $(*)$ - cũng chính là hoành độ $A, B, C$ của $C_{m}\cap ox$, 3 nghiệm này phải thỏa $|x_{1}-x_{2}|=|x_{2}-x_{3}|$

 

Và đây là kết quả nhờ vào phần mềm Geogabra với đồ thị $y=f(x)$ chứa tham số $m$ với $m$ thay đổi, khi ta kéo thanh trượt cho $m=1$ thì $f(x)\cap ox$ tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau (Để ý hoành độ của 3 giao điểm được hiển thị bên tay trái)

 

Thêm 1 hình ảnh nữa minh họa cho đồ thị $f'(x)$, khi $m\leq 1$ thì quả nhiên $f'(x)$ không cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt, tức là $f'(x)=0$ không có 2 nghiệm, khi đó $f(x)$ cũng chỉ cắt $ox$ tại 1 điểm chứ không phải là 3 ($f'(x)=g(x)$ trên hình vẽ)

 

 

Khi kéo $m>0$ thì $f'(x)=g(x)$ cắt $ox$ tại 2 điểm và lập tức $f(x)$ cắt $ox$ tại 3 điểm, tuy nhiên khi ta kéo thanh trượt cho $m$ có giá trị $=1$ thì $f(x)\cap ox$ tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau:

 

 

Câu 2)

$y=(|x|+1)^{2}.(|x|-1)^{2}=(|x|+1).(|x|+1).(|x|-1).(|x|-1)\\=\left [ (|x|)^{2}-1^{2} \right ].\left [ (|x|)^{2}-1^{2} \right ]=(x^{2}-1).(x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1$

$TXD: D=R$

$y'=4x^{3}-4x$

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $(C)$, $d$ qua $A(a,0)$ và có hệ số góc là $k$

$\Rightarrow (d):y=k(x-a)+0$

$d$ là tiếp tuyến của $(C)\Rightarrow (d)$  tiếp xúc với $(C) \Rightarrow$ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

$\left\{  \begin{array}{l}  x^{4} -2x^{2}+1=k(x-a) \\ 4x^{3}-4x=k      \end{array}  \right.\\\Leftrightarrow x^{4} -2x^{2}+1=(4x^{3}-4x)(k-a)\\\Leftrightarrow 3x^{4}-4ax^{3}-2x^{2}+4ax-1=0(1)$

Nhẩm nghiệm ta thấy có 2 nghiệm $-1$ và $1$

$(1)\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(3x^{2}-4ax+1)=0\\\Leftrightarrow \left\{  \begin{array}{l}  x=1  \\  x=-1\\  (3x^{2}-4ax+1)=0 (2)   \end{array}  \right.$

Để từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến $(C)$ thì $(1)$ có 3 nghiệm phân biệt. Để $(1)$ có 3 nghiệm phân biệt thì $(2)$ có 1 nghiệm khác $1$ và $-1$, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm trùng với $1$ hay $-1$, $\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}a=1  \\a=-1  \end{array} \right.$

 

Nhờ vào Geogabra thì ta cũng có 2 kết quả như hình dưới đây ($a=-1$ và $a=1$):

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthanhtoan: 11-10-2014 - 20:34

[hello123321]

(Theo lý thuyết: để phương trình bậc ba $f(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt thì đạo hàm $f'(x)=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ và $f(x_{1}).f(x_{2})<0$ )

Do ta không nhẩm được nghiệm của phương trình bậc 3 này nên phải làm theo cách như lý thuyết nói ở trên.

 

Câu 1)

Mình chỉ có hướng giải chứ chưa giải được ra kết quả cụ thể.

Tuy nhiên dựa vào phần mềm vẽ hình Geogebra mình có thể cho bạn kết quả chính xác dưới đây. Nếu bạn đã có lời giải thì post lên cho mọi người cùng xem nhé.

Giải: Phương trình $ox: y=0$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $x^{3}-3mx^{2}+2m(m-4)x+9m^{2}-m=0 (*)$

Xét hàm số $f(x)=x^{3}-3mx^{2}+2m(m-4)x+9m^{2}-m$

$f'(x)=3x^{2}-6mx+2m(m-4)$

Để $C_{m}\cap ox$ tại 3 điểm phân biệt thì $(*)$ có $3$ nghiệm phân biệt, thì $f'(x) = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ và $f(x_{1}).f(x_{2})<0$

$\Leftrightarrow\left\{  \begin{array}{l}  \Delta_{f'(x)}>0  \\ f(x_{1}).f(x_{2})<0      \end{array}  \right.$

$+\Delta_{f'(x)}> 0\Leftrightarrow 3m^{2}+24m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  m< -8\\ m> 0 \end{array} \right.$

$+$  Với $\left[ \begin{array}{l}  m< -8\\ m> 0 \end{array} \right.$, tìm $2$ nghiệm $x_{1}, x_{2}$ rồi thế vào $f(x)$, giải $f(x_{1}).f(x_{2})<0$

$+$ Tiếp theo tìm điều kiện để $C_{m}\cap ox$ tại $3$ điểm phân biệt cách đều nhau thì với $x_{2}, x_{2}, x_{3}$ là nghiệm của $(*)$ - cũng chính là hoành độ $A, B, C$ của $C_{m}\cap ox$, 3 nghiệm này phải thỏa $|x_{1}-x_{2}|=|x_{2}-x_{3}|$

 

Và đây là kết quả nhờ vào phần mềm Geogabra với đồ thị $y=f(x)$ chứa tham số $m$ với $m$ thay đổi, khi ta kéo thanh trượt cho $m=1$ thì $f(x)\cap ox$ tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau (Để ý hoành độ của 3 giao điểm được hiển thị bên tay trái)

2014-10-11_091048.png

 

Thêm 1 hình ảnh nữa minh họa cho đồ thị $f'(x)$, khi $m\leq 1$ thì quả nhiên $f'(x)$ không cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt, tức là $f'(x)=0$ không có 2 nghiệm, khi đó $f(x)$ cũng chỉ cắt $ox$ tại 1 điểm chứ không phải là 3 ($f'(x)=g(x)$ trên hình vẽ)

 

2014-10-11_091633.png

 

Khi kéo $m>0$ thì $f'(x)=g(x)$ cắt $ox$ tại 2 điểm và lập tức $f(x)$ cắt $ox$ tại 3 điểm, tuy nhiên khi ta kéo thanh trượt cho $m$ có giá trị $=1$ thì $f(x)\cap ox$ tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau:

 

2014-10-11_091704.png

 

Câu 2)

$y=(|x|+1)^{2}.(|x|-1)^{2}=(|x|+1).(|x|+1).(|x|-1).(|x|-1)\\=\left [ (|x|)^{2}-1^{2} \right ].\left [ (|x|)^{2}-1^{2} \right ]=(x^{2}-1).(x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1$

$TXD: D=R$

$y'=4x^{3}-4x$

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $(C)$, $d$ qua $A(a,0)$ và có hệ số góc là $k$

$\Rightarrow (d):y=k(x-a)+0$

$d$ là tiếp tuyến của $(C)\Rightarrow (d)$  tiếp xúc với $(C) \Rightarrow$ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

$\left\{  \begin{array}{l}  x^{4} -2x^{2}+1=k(x-a) \\ 4x^{3}-4x=k      \end{array}  \right.\\\Leftrightarrow x^{4} -2x^{2}+1=(4x^{3}-4x)(k-a)\\\Leftrightarrow 3x^{4}-4ax^{3}-2x^{2}+4ax-1=0(1)$

Nhẩm nghiệm ta thấy có 2 nghiệm $-1$ và $1$

$(1)\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(3x^{2}-4ax+1)=0\\\Leftrightarrow \left\{  \begin{array}{l}  x=1  \\  x=-1\\  (3x^{2}-4ax+1)=0 (2)   \end{array}  \right.$

Để từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến $(C)$ thì $(1)$ có 3 nghiệm phân biệt. Để $(1)$ có 3 nghiệm phân biệt thì $(2)$ có 1 nghiệm khác $1$ và $-1$, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm trùng với $1$ hay $-1$, $\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}a=1  \\a=-1  \end{array} \right.$

 

Nhờ vào Geogabra thì ta cũng có 2 kết quả như hình dưới đây ($a=-1$ và $a=1$):

 

2014-10-11_195455.png

2014-10-11_200717.png

bạn cho tớ xin link tải chương trình vẽ đồ thị của bạn không 

[LightUpHope]

1. cho (Cm): $y=x^{3}-3mx^{2}+2m(m-4)x+9m^{2}-m$

tìm m để cho (Cm) giao Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau

 

Giải: $y’ = 3x^{2} - 6mx + 2m(m - 4)$ ; $y’’ = 6x - 6m$ ; $y'=0 \Leftrightarrow x=m$
Hoành độ điểm uốn: $x.uốn = m$; Tung độ điểm uốn $y.uốn = m2 - m$.
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều thì  $y.uốn= 0 \Leftrightarrow m^{2} -m = 0 \Leftrightarrow m = 0 or m = 1$
*$ m = 0$ ($y = x^{3}$ đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm (Loại)
* $m = 1$ ($y = (x + 2)(x-1)(x-4)$ đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm )
$x = -2; x = 1; x = 4$ thoả mãn.
Đ/S: $m = 1$.

 

đây là 1 sáng kiến kinh nghiệm thôi,

tham khảo thêm ở:

http://violet.vn/lqt...ntry_id/2068868

 

Bài đầu tiên, có gì xin các mod góp ý