Chủ đề này có 6 trả lời

[datmc07061999]

  *) Từ 1 bài toán trong đề thi tuyển sinh Hà Nội 2012-2013:

                               $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & & \\a+b+c+ab+bc+ca=6abc & & \end{matrix}\right.$

     

              Tìm $Min_{P}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

  Em đã nghĩ ra một bài sau: Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c>0$

                               Tìm $Max$  P=$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

     P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...           

[brianorosco]

1/Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$

Ta có giả thiết là $x+y+z+xy+yz+zx=6$

$3P=3x^2+3y^2+3z^2=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)+2(x^2+y^2+z^2)-3\geq 2(x+y+z+xy+yz+zx)-3=9\Rightarrow P\geq 3$

[Nguyentiendung9372]

Dự đoán max bằng 6

Ta có BĐT tương đương

$$\sum {ab\left( {a + b} \right)}  \le 6 \Leftrightarrow 3ab + 3bc + 3ca - 3abc \le 6$$

Ta chứng minh

$$3ab + 3bc + 3ca - 3abc \le 6 \Leftrightarrow \left( {b + c - bc} \right)a + bc \le 2$$ 

Coi $f\left( a \right) = \left( {b + c - bc} \right)a + bc - 2$ là một hàm số ẩn $a$, suy ra $f(a)$ là hàm số bậc nhất

Nếu $b+c-bc=0$ thì $f(a)=bc$. Dễ chứng minh được $bc<2$

Nếu $b + c - bc \ne 0$ thì $f(a)$ là một hàm số bậc nhất xác định trên $\left( {0,3} \right)$

Nên $f\left( a \right) \le \max \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 3 \right)} \right\}$

Từ đây dễ dàng suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyentiendung9372: 11-10-2014 - 13:45

[dogsteven]

Đặt $b=t+s; c=t-s; a=3-2t$, và giả sử $a \leqslant c \leqslant b$

 

$P(s)=6(t^3+s^2-3t^2-s^2t+3t)$

 

$0\leqslant a \leqslant 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \geqslant  t \geqslant 1$

 

$3t-3 \geqslant s=\dfrac{b-c}{2} \geqslant 0$

 

$P(s)-P(0)=6s^2(1-t) \leqslant 0$

 

$ \Leftrightarrow P(s) \leqslant P(0)=6t^3-18t^2+18t \leqslant \dfrac{27}{4}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a\to 0, b=c \to \dfrac{3}{2}$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 11-10-2014 - 15:23

[datmc07061999]

Dự đoán max bằng 6

Ta có BĐT tương đương

$$\sum {ab\left( {a + b} \right)}  \le 6 \Leftrightarrow 3ab + 3bc + 3ca - 3abc \le 6$$

Ta chứng minh

$$3ab + 3bc + 3ca - 3abc \le 6 \Leftrightarrow \left( {b + c - bc} \right)a + bc \le 2$$ 

Coi $f\left( a \right) = \left( {b + c - bc} \right)a + bc - 2$ là một hàm số ẩn $a$, suy ra $f(a)$ là hàm số bậc nhất

Nếu $b+c-bc=0$ thì $f(a)=bc$. Dễ chứng minh được $bc<2$

Nếu $b + c - bc \ne 0$ thì $f(a)$ là một hàm số bậc nhất xác định trên $\left( {0,3} \right)$

Nên $f\left( a \right) \le \max \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 3 \right)} \right\}$

Từ đây dễ dàng suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Lời giải có vấn đề...

Đặt $b=t+s; c=t-s; a=3-2t$, và giả sử $a \leqslant c \leqslant b$

 

$P(s)=6(t^3+s^2-3t^2-s^2t+3t)$

 

$0\leqslant a \leqslant 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \geqslant  t \geqslant 1$

 

$3t-3 \geqslant s=\dfrac{b-c}{2} \geqslant 0$

 

$P(s)-P(0)=6s^2(1-t) \leqslant 0$

 

$ \Leftrightarrow P(s) \leqslant P(0)=6t^3-18t^2+18t \leqslant \dfrac{27}{4}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a\to 0, b=c \to \dfrac{3}{2}$ và các hoán vị.

  Bài này không cần phức tạp vậy đâu 

 P/S: Đã sửa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 12-10-2014 - 11:30

[dogsteven]

  Bài này không cần phức tạp vậy đâu 

 Lời giải có vấn đề...

 

Vấn đề chỗ nào vậy chị, em nhìn mãi mà cũng chưa thấy chỗ sai.

[dogsteven]

Đặt $b=t+s; c=t-s; a=3-2t$, và giả sử $a \leqslant c \leqslant b$

 

$P(s)=6(t^3+s^2-3t^2-s^2t+3t)$

 

$0\leqslant a \leqslant 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \geqslant  t \geqslant 1$

 

$3t-3 \geqslant s=\dfrac{b-c}{2} \geqslant 0$

 

$P(s)-P(0)=6s^2(1-t) \leqslant 0$

 

$ \Leftrightarrow P(s) \leqslant P(0)=6t^3-18t^2+18t \leqslant \dfrac{27}{4}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a\to 0, b=c \to \dfrac{3}{2}$ và các hoán vị.

 

Nhìn lại bài giải thì thấy sao hồi trước ngu quá

 

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$

 

$f(a;b;c)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

$f(a;b;c)-f(a;b+c;0)=bc(b+c-2a) \leqslant 0$

 

Vì vậy ta quy về chứng minh bất đẳng thức khi $c=0$

 

$ab(a+b)=3ab \leqslant \dfrac{3}{4}(a+b)^2=\dfrac{27}{4}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $(a;b;c) \sim (3/2;3/2;0)$