Chủ đề này có 4 trả lời

[NoHechi]

1.Cho a,b,c là các số thực sao cho

        $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1;a+b+c=1$

CMR: $\left ( a-1 \right )\left (b-1 \right )\left (c-1 \right )=0$

2.Tìm x,y nguyên thỏa mãn

         $X^{3}+y^{3}-3xy=1$

3.CMR: $\left (3+\sqrt{5} \right )^{n}+\left ( 3-\sqrt{5} \right )^{n}$ là số nguyên dương

[hoctrocuaZel]

1.Cho a,b,c là các số thực sao cho

        $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1;a+b+c=1$

CMR: $\left ( a-1 \right )\left (b-1 \right )\left (c-1 \right )=0$

Câu 1: (Chủ yếu là quy đồng nha)

Ta có: $\sum \frac{1}{a}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b)(a+b)(b+c)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a+b=0\\ b+c=0\\ a+c=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=1\\ b=1\\ c=1 \end{bmatrix}\rightarrow dpcm$

 

2.Tìm x,y nguyên thỏa mãn

         $X^{3}+y^{3}-3xy=1$

Câu 2/

$PT\Leftrightarrow (x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y+1)=4$

[brianorosco]

3.Ta chứng minh bằng phép quy nạp toán học

Với $n=1,n=2$ bài toán hiển nhiên đúng.

Giả sử bài toán đúng với $k-2,k-1$ .Ta chứng minh nó đúng với $k$

Ta có:$(3-\sqrt{5})^{k}+(3+\sqrt{5})^{k}=[( 3-\sqrt{5})^{k-1}+( 3+\sqrt{5})^{k-1}] ( 3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5} )-(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})[( 3-\sqrt{5})^{k-2}+( 3+\sqrt{5})^{k-2}] =6[( 3-\sqrt{5})^{k-1}+( 3+\sqrt{5})^{k-1}]-4[( 3-\sqrt{5})^{k-2}+( 3+\sqrt{5})^{k-2}]$

CM xong!

[lethutang7dltt]

1.Cho a,b,c là các số thực sao cho

        $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1;a+b+c=1$

CMR: $\left ( a-1 \right )\left (b-1 \right )\left (c-1 \right )=0$

 

Có:$(a+b+c)-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=0$=>$(a-\frac{1}{a})+(b-\frac{1}{b})+(c-\frac{1}{c})=0$=>$\frac{a^{2}-1}{a}+\frac{b^{2}-1}{b}+\frac{c^{2}-1}{c}=0$

=>$\frac{a^{2}bc-bc+b^2{ac}-ac+c^{2}ab-ab}{abc}=0$

Vì abc$\neq$0 nên ${a^{2}bc-bc+b^2{ac}-ac+c^{2}ab-ab}$=0

Do đó:$abc(a+b+c)-(bc+ac+ab)=0$ hay $abc-(bc+ac+ab)=0$=>$abc-bc-ac-ab=0=>bc(a-1)-a(b+c)$  (1)

Theo đề bài: $a+b+c=1=>b+c=1-a$                                                                                                       (2)

Từ (1) và (2)=> $(a-1)(bc+a)=0=>(a-1)(bc+1-b-c)=0=>(a-1)(b-1)(c-1)=0$

=>đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 12-10-2014 - 20:57

[daotuanminh]

1.Ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=1 \Leftrightarrow ab+bc+ac-abc=0 \Leftrightarrow b(a+c)+ac(1-b)=0

\Leftrightarrow b(a+c)+ac(a+c)=0 \Leftrightarrow (b+ac)(a+c)=0 \Leftrightarrow (1-a-c+ac)(1-b)=0 \Leftrightarrow \left [ (1-a)-c(1-a) \right ](1-b)=0

\Leftrightarrow (1-a)(1-c)(1-b)=0 \rightarrow dpcm$