Chủ đề này có 5 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho x,y,z là các số thực khác 1 thoả mãn xyz=1.Chứng minh rằng:$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2} \geq 1$

[brianorosco]

Đặt:$a=\frac{x}{x-1},b=\frac{y}{y-1},c=\frac{z}{z-1}$

$(a-1)(b-1)(c-1)=\frac{1}{(x-1)(y-1)(z-1)}=abc \Rightarrow a+b+c=ab+bc+ca+1$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+2\geq 2(a+b+c)+1\Leftrightarrow (a+b+c-1)^{2}$$\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi brianorosco: 08-10-2014 - 18:51

[dogsteven]

Đặt $(x;y;z)=\left ( \dfrac{bc}{a^2}; \dfrac{ca}{b^2}; \dfrac{ab}{c^2} \right )$

 

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^4}{(a^2-bc)^2} \geqslant 1$

 

Cauchy-Schwarz:

 

$VT \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2-bc)^2+(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2}$

 

$(\sum a^2)^2 - \sum (a^2-bc)^2 = (ab+bc+ca)^2 \geqslant 0$

[Viet Hoang 99]

Đặt:$a=\frac{x}{x-1},b=\frac{y}{y-1},c=\frac{z}{z-1}$

$(a-1)(b-1)(c-1)=$ $\frac{1}{(x-1)(y-1)(z-1)}=abc$ $ \Rightarrow a+b+c=ab+bc+ca+1$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+2\geq 2(a+b+c)+1\Leftrightarrow (a+b+c-1)^{2}$$\geq 0$

Sai!

[Nxb]

Chỗ đó đúng chứ nhỉ xyz=1 mà. Thực ra bất đẳng thức này khá yếu không phải làm gì nhiều cả. Ta có $\frac{x^2}{(x-1)^2} \geq 1$ khi và chỉ khi $x\geq \frac{1}{2}$. Vì $xyz=1$ nên không thể xảy ra trường hợp cả 3 số x y z đều nhỏ hơn 1/2 được ta có bất đẳng thức đúng.

[Viet Hoang 99]

Chỗ đó đúng chứ nhỉ xyz=1 mà. Thực ra bất đẳng thức này khá yếu không phải làm gì nhiều cả. Ta có $\frac{x^2}{(x-1)^2} \geq 1$ khi và chỉ khi $x\geq \frac{1}{2}$. Vì $xyz=1$ nên không thể xảy ra trường hợp cả 3 số x y z đều nhỏ hơn 1/2 được ta có bất đẳng thức đúng.

À em nhầm