Tìm GTNN của $Q=\frac{a^2}{b^2+(a+b)^2}+\frac{b^2}{a^2+(a+b)^2}$ trong đó a và b là các số thực dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 19:52
$Q=\frac{a^2}{b^2+(a+b)^2}+\frac{b^2}{a^2+(a+b)^2}$
Bắt đầu bởi binhnhaukhong, 08-10-2014 - 22:03
#1
Đã gửi 08-10-2014 - 22:03
binhnhaukhong
-
- Thành viên
-
- 343 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 07-05-2021 - 19:51
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Tìm GTNN của $Q=\frac{a^2}{b^2+(a+b)^2}+\frac{b^2}{a^2+(a+b)^2}$ trong đó a và b là các số thực dương
Chuẩn hóa $a+b=2$ thì $Q=\frac{a^2}{a^2-4a+8}+\frac{b^2}{b^2-4b+8}$
Vì $0<a<2$ nên ta có:
$\frac{a^2}{a^2-4a+8}-\frac{12a-7}{25}=\frac{(a-1)^2(56-12a)}{25(a^2-4a+8)}\geqslant 0$
$\Rightarrow \frac{a^2}{a^2-4a+8}\geqslant \frac{12a-7}{25}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được:
$\frac{a^2}{a^2-4a+8}+\frac{b^2}{b^2-4b+8}\geqslant \frac{12(a+b)-14}{25}=\frac{2}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 19:53
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 09-05-2021 - 10:21
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Hoặc:
Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức:
$\frac{a^2}{b^2+(a+b)^2}+\frac{b^2}{a^2+(a+b)^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2+(a^2+b^2)(a+b)^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2)^2}{\frac{(a^2+b^2)^2}{2}+2(a^2+b^2)^2}=\frac{2}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 10:22
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
