Chủ đề này có 8 trả lời

[Viet Hoang 99]

Cho $x;y;z\geq 0$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Cmr:

$$x^3+2y^3+3z^3\geq \dfrac{6}{7}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-10-2014 - 13:09

[dogsteven]

Bước nháp:

 

$L=x^3+2y^3+3z^3-\lambda (x^2+y^2+z^2-1)$

 

$\dfrac{dL}{dx}=3x^2-2\lambda x = 0 \Leftrightarrow 2\lambda = 3x$

 

$\dfrac{dL}{dy}=6y^2-2\lambda y = 0 \Leftrightarrow 2\lambda = 6y$

 

$\dfrac{dL}{dz}= 9z^2-2\lambda z = 0 \Leftrightarrow 2\lambda = 9z$

 

Từ đây ta có $x=2y=3z$

 

Thế vào điều kiện đầu bài ta được $x=\dfrac{6}{7}; y=\dfrac{3}{7}; z=\dfrac{2}{7}$

 

Bài làm:

 

$x^3+x^3+(\dfrac{6}{7})^3 \geqslant \dfrac{18}{7}x^2$

 

$y^3+y^3+(\dfrac{3}{7})^3 \geqslant \dfrac{9}{7}y^2\;\;\;(2)$

 

$z^3+z^3 +(\dfrac{2}{7})^3 \geqslant \dfrac{6}{7}z^2\;\;\;(3)$

 

Nhân đôi thằng $(2)$ và nhân 3 thằng $(3)$ mỗi vế rồi cộng hết vào sẽ ra kết quả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 09-10-2014 - 14:57

[Viet Hoang 99]

Các bạn hãy nghĩ cách dùng BĐT cổ điển (không đạo hàm )

[dogsteven]

Các bạn hãy nghĩ cách dùng BĐT cổ điển (không đạo hàm )

 

Thì bài làm của em là dùng Cauchy mà anh   

 

Còn cái đạo hàm chỉ để tìm điểm rơi thôi mà.

[Viet Hoang 99]

Thì bài làm của em là dùng Cauchy mà anh   

 

Còn cái đạo hàm chỉ để tìm điểm rơi thôi mà.

Vậy chưa học đạo hàm thì tìm điểm rơi thế nào?

[dogsteven]

Sorry anh. giờ em hiểu ý của anh rồi   

Giả sử $(x;y;z)=(a;b;c)$ là điểm rơi.

 

Áp dụng BDT Cauchy:

$x^3+x^3+a^3 \geqslant 3ax^2$

$2y^3+2y^3+2b^3 \geqslant 6by^2$

$3z^3+3z^3+3c^3 \geqslant 9cz^2$

 

Ta tìm $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2+c^2=1$ và $a=2b=3c$

 

Giả hệ ra ta được $(a;b;c)=\left ( \dfrac{6}{7}; \dfrac{3}{7}; \dfrac{2}{7} \right)$

[Viet Hoang 99]

Sorry anh. giờ em hiểu ý của anh rồi   

Giả sử $(x;y;z)=(a;b;c)$ là điểm rơi.

 

Áp dụng BDT Cauchy:

$x^3+x^3+a^3 \geqslant 3ax^2$

$2y^3+2y^3+2b^3 \geqslant 6by^2$

$3z^3+3z^3+3c^3 \geqslant 9cz^2$

 

Ta tìm $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2+c^2=1$ và $a=2b=3c$

 

Giả hệ ra ta được $(a;b;c)=\left ( \dfrac{6}{7}; \dfrac{3}{7}; \dfrac{2}{7} \right)$

Hỏi ngu tí, sao $a=2b=3c$, như đề bài thì phải là $a=\sqrt[3]{2} b=\sqrt[3]{3} c$ chứ nhỉ.

P/s: Hãy nghĩ cách sơ cấp hơn!

[Kool LL]

Các bạn hãy nghĩ cách dùng BĐT cổ điển (không đạo hàm )

 

 

Thì bài làm của em là dùng Cauchy mà anh   

 

Còn cái đạo hàm chỉ để tìm điểm rơi thôi mà.

 

Ý của @VietHoang99 là tìm điểm rơi bằng pp không dùng đạo hàm, chứ từ lớp 11 trở xuống có ai biết đạo hàm là gì đâu !!!

[dogsteven]

Hỏi ngu tí, sao $a=2b=3c$, như đề bài thì phải là $a=\sqrt[3]{2} b=\sqrt[3]{3} c$ chứ nhỉ.

P/s: Hãy nghĩ cách sơ cấp hơn!

 

Cộng lại thì được $2x^3+4y^3+6z^3+a^3+2b^3+3c^3 \geqslant 3ax^2+6by^2+9cz^2$

 

Muốn có $x^2+y^2+z^2$ thì $3a=6b=9c$ hay $a=2b=3c$