Bài toán : Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $a+b+c=6$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2$
$\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geq 2$
Bắt đầu bởi phuc_90, 09-10-2014 - 20:24
#2
Đã gửi 05-04-2021 - 11:13
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}}\geqslant \frac{a}{\frac{(b+1)+(b^2-b+1)}{2}}=\frac{2a}{b^2+2} =a-\frac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\geqslant a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}=a-\frac{a\sqrt[3]{2b^2}}{3} \geqslant a-\frac{a(b+b+2)}{9} =\frac{7}{9}a-\frac{2}{9}ab$
Tương tự: $\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}=\frac{7}{9}b-\frac{2}{9}bc$; $\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}=\frac{7}{9}c-\frac{2}{9}ca$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\geqslant \frac{7}{9}(a+b+c)-\frac{2}{9}(ab+bc+ca) \geq\frac{7}{9}(a+b+c) -\frac{2}{9}.\frac{(a+b+c)^2}{3}=2$ (Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
