Chủ đề này có 1 trả lời

[Hung Duc]

Cho hình vuông $ABCD $ cạnh a, trên cạnh $BC, CD $ lấy 2 điểm $E, F $ thay đổi sao cho $\widehat{EAF} = 45^o $ ( E thuộc BC, F thuộc CD, E khác B và C). Đường thẳng $BD $ cắt hai đoạn thẳng $AE $và $AF $lần lượt tại $M $ và $N $. Đường thẳng đi qua $A $ và giao điểm của $EN, MF $ cắt $EF $ tại $H $.
A) Chứng minh rằng $EF $ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
B) Tìm vị trí của $E, F $ để diện tích tam giác $FEC $ đạt giá trị lớn nhất

[vkhoa]

a)Trên tia đối tia DC lấy P sao cho PD =EB, hạ AK vuông góc EF tại K
ta có $\triangle ADP =\triangle ABE$ (DP =BE,AD =AB,$\widehat{ADP} =\widehat{ABE}$
=>AP =AE (1) và $\widehat{DAP} =\widehat{BAE}$ (2)
(2)<=>$\widehat{DAP} +\widehat{DAF}=\widehat{BAE} +\widehat{DAF} $
<=>$\widehat{FAP} =90^\circ -\widehat{EAF} =45^\circ$
=>$\widehat{FAP} =\widehat{FAE}$ (3)
AFP và AFE có AF chung và có (1), (3) =>$\triangle AFP=\triangle AFE$ (c,g,c)
=>$\widehat{AFD} =\widehat{AFK}$ (4)
2 t giác vuông ADF và AKF có (4) và AF chung =>$\triangle ADF=\triangle AKF$
=>AD =AK =a
=>EF luôn tiếp xúc đ tròn tâm A bán kính a

 

b)

bổ đề 1:cho góc xAy không đổi xoay quanh A cắt đ thẳng d cố định tại 2 điểm P,Q. Cm PQ nhỏ nhất khi APQ cân tại A
bổ đề 2: Cho điêm A và đ thẳng d cố định, cho 4 điểm P', Q', P, Q theo thứ tự đó nằm trên d sao cho $\widehat{P'AQ'} =\widehat{PAQ}$ và AP>=AQ'. cm PQ>P'Q'
------------------------
cminh bổ đề 2:

gọi M là 1 điểm trên AQ sao cho $\widehat{APM} =\widehat{AQ'P'}$
mà $\widehat{P'AQ'} =\widehat{MAP}$
=>$\triangle AP'Q'\sim\triangle AMP$
mà AQ' <=AP =>P'Q'<=MP (5)
gọi P'x là tia đối tia P'Q'
mặt khác $\widehat{AP'Q'} =\widehat{AMP}$
=>$\widehat{AP'x} =\widehat{PMQ}$
mà $\widehat{AP'x} =\widehat{P'AQ} +\widehat{MQP}>\widehat{MQP}$
=>$\widehat{PMQ} >\widehat{MQP}$ =>PQ >MP (6)
từ (5, 6) =>P'Q'<PQ
-------------------------
cminh bổ đề 1:

trên d lấy 2 điểm P'. Q' sao cho $\widehat{P'AQ'} =\widehat{xAy}$ và AP'Q' cân tại A.Xét 2 trường hợp
TH 1:P nằm giữa P', Q'
có $\widehat{P'AQ'} =\widehat{PAQ}$
<=>$\widehat{P'AP} =\widehat{Q'AQ}$, và có AP<AP'=AQ' ,áp dụng bổ đề 2=>
=>P'P<Q'Q, cộng PQ' vào 2 vế được P'Q'<PQ (7)
TH 2:đoạn PQ nằm ngoài đoạn P'Q'
có AP>AQ' và $\widehat{PAQ} =\widehat{P'AQ'}$, ap dụng bổ đề 2
=>P'Q'<PQ (8)
từ (7, 8) =>PQ nhỏ nhất khi PQ trùng P'Q' hay APQ cân tại A(đpcm)
--------------------------

c minh câu b)
theo a) $\triangle ADP =\triangle ABE$
=>$S_{ADP} =S_{ABE}$
có $S_{CEF} =S_{ABCD} -(S_{ABE} +S_{ADF} +S_{AEF}) =S_{ABCD} -(S_{ADP} +S_{ADF}) -S_{AEF}$

$=S_{ABCD} -2 .S_{APF} $
=>$S_{CEF} $ lớn nhất khi $S_{APF}$ nhỏ nhất
$S_{APF} =\frac{1}{2}.AD.PF$
$S_{APF}$ nhỏ nhất khi PF nhỏ nhất
góc PAF quay quanh A và $\widehat{PAF}=45^\circ$, áp dụng bổ đề 1=>
=>PF nhỏ nhất khi PAF cân tại A =>$\widehat{BAE} =\widehat{DAP} =\frac{45^\circ}{2} =22,5^\circ$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 14-10-2014 - 15:31