$P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$
#1
Posted 11-10-2014 - 23:46
- nguyenhongsonk612 and datmc07061999 like this
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
#2
Posted 12-10-2014 - 01:22
Bài 3,Cho $x,y,z\geq0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\leq1$. Tìm GTNN của $P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\geq \frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+2)(z+3)}}$
$\frac{y+1}{y+2}=1-\frac{1}{y+2}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+3)}}$
$\frac{z+2}{z+3}=1-\frac{1}{z+3}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+2)}}$
Nhân theo vế các BĐT trên ta được
$\frac{x(y+1)(z+2)}{(x+1)(y+2)(z+3)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+2)(z+3)}\Rightarrow x(y+1)(z+2)\geq 8$
Theo BĐT $AM-GM$ thì $8\leq x(y+1)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+3)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geq 3$
Đặt $x+y+z=t$ $(t\geq 3)$
$\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{9}{t}}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$
Vậy $P$ min $=\frac{10}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$
- binhnhaukhong, Mikhail Leptchinski, datmc07061999 and 3 others like this
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#3
Posted 12-10-2014 - 16:57
Bài 3,Cho $x,y,z\geq0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\leq1$. Tìm GTNN của $P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$Bài 4,Cho x,y,z>0 thỏa mãn:$xy+yz+zx=671$.CMR: $\frac{x}{x^2-yz+2013}+\frac{y}{y^2-zx+2013}+\frac{z}{z^2-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z}$
Dùng Cauchy-Schwarz:
$\sum \frac{x}{x^{2}-yz+2013}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum x^{3}-3xyz+2013(x+y+z)}$
$=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)[(x+y+z)^{2}-3(xy+yz+zx)]+2013(x+y+z)}$
$= \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(x+y+z)^{2}}= \frac{1}{x+y+z}$
$Q.E.D$
P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...
- binhnhaukhong, nguyenhongsonk612, duong7cvl and 2 others like this
Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...
#4
Posted 29-10-2014 - 21:12
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}\geq \frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+2)(z+3)}}$
$\frac{y+1}{y+2}=1-\frac{1}{y+2}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+3)}}$
$\frac{z+2}{z+3}=1-\frac{1}{z+3}\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+2)}}$
Nhân theo vế các BĐT trên ta được
$\frac{x(y+1)(z+2)}{(x+1)(y+2)(z+3)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+2)(z+3)}\Rightarrow x(y+1)(z+2)\geq 8$
Theo BĐT $AM-GM$ thì $8\leq x(y+1)(z+2)\leq \frac{(x+y+z+3)^3}{27}\Rightarrow x+y+z\geq 3$
Đặt $x+y+z=t$ $(t\geq 3)$
$\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=t+\frac{9}{t}-\frac{8}{t}\geq 2\sqrt{t.\frac{9}{t}}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$
Vậy $P$ min $=\frac{10}{3}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$
Mình nghĩ làm thế này dễ hiểu hơn:
Ta có: $1\geq \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z+6}=\frac{9}{x+y+z+6}$
$\Rightarrow x+y+z+6\geq 9\Rightarrow x+y+x\geq 3$
Ta lại có: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}=\frac{8(x+y+z)}{9}+\frac{x+y+z}{9}+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$
Vậy Pmin = $\frac{10}{3}$
- nguyenhongsonk612 likes this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users