Chủ đề này có 2 trả lời

[hoamuongbien]

Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+4ab=4a^2+4b^2$ . Tìm max:  $A=20 (a^3 +b^3 ) - 6 (a^2+b^2 )+14$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 12-10-2014 - 09:15

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+4ab=4a^2+4b^2$ . Tìm max:  $A=20 (a^3 +b^3 ) - 6 (a^2+b^2 )+14$

Ta có:$4(a+b)^2-(a+b)-12ab=0$

Đặt $a+b=x,ab=y$.Ta có bđt:$x^2\geq 4y$

Ta có:$P=20(x^3-3xy)-6(x^2-2y)+14$$=20(x^3-3x.\frac{4x^2-x}{12})-6(x^2-\frac{4x^2-x}{6})+14=5x^2-2x^2-x+14=3x^2-x+14$

Từ bât đẳng thức $x^2\geq 4y$ ta có:$4x^2-x-12y\geq 4x^2-x-3x^2<=>0\geq x^2-x<=>0\leq x\leq 1$

Ta có:$P=x(3x-1)+14\leq 1.(3-1)+14=16$

Dấu bằng xảy ra:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ y=\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right. =>a=b=\frac{1}{2}$

[khanghaxuan]

Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+4ab=4a^2+4b^2$ . Tìm max:  $A=20 (a^3 +b^3 ) - 6 (a^2+b^2 )+14$

Gọi $a+b=x , ab=y$

Viết lại gt : $4x^{2}-x=12y$

Lại có $A=20x^{3}-60xy-6x^{2}+12y=5x.(4x^{2}-x)-x^{2}-60xy+12y=12y-x^{2}=3x^{2}-x=3(a+b)^{2}-(a+b)=3a^{2}+3b^{2}+6ab+4ab-4a^{2}-4b^{2}=-(a-b)^{2}+8ab\leq 8ab$

mà từ gt ta suy ra $4a^{2}+4b^{2}\leq a+b+2(a^{2}+b^{2})\Rightarrow (a+b)\leq 1 \Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow 8ab\leq 2 \Rightarrow A\leq 2$

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi x=y=1/2