Chủ đề này có 1 trả lời

[lethanhson2703]

a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m,n$ thì số $(2013m+n)(2013n+m)$ không phải là một lũy thừa của 3

b. CHo $p$ là số nguyên tố có dạng $2013k+2$ trong đó $k$ là số nguyên dương ; $a.b$ là hai số nguyên sao cho $a^2-ab+b^2$ chia hết cho $p$. CMR: cả $a,b$ đều chia hết cho $p$

[lahantaithe99]

a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m,n$ thì số $(2013m+n)(2013n+m)$ không phải là một lũy thừa của 3

b. CHo $p$ là số nguyên tố có dạng $2013k+2$ trong đó $k$ là số nguyên dương ; $a.b$ là hai số nguyên sao cho $a^2-ab+b^2$ chia hết cho $p$. CMR: cả $a,b$ đều chia hết cho $p$

 

1.Ta sẽ chứng minh PT $(2013m+n)(2013n+m)=3^v$ $(1)$ vô nghiệm

 

Từ $(1)$ suy ra tồn tại $a,b\in \mathbb{N}$ sao cho $\left\{\begin{matrix} 2013m+n=3^a & \\ 2013n+m=3^b & \end{matrix}\right.(a+b=v)$

 

Dễ thấy $3|m,n$ nên đặt $m=3^x.t,n=3^y.k$ ( $(3,t)=(3,k)=1$)

 

Giả sử $a\geq x\geq y$

 

Khi đó $2013.3^x.t+3^y.k=3^a\Leftrightarrow 3^y(671.3^{x-y+1}+k-3^{a-x})=0\Leftrightarrow k=3^{a-x}-671.3^{x-y+1}$ không chia hết cho $3$

 

Từ đó ta dễ dàng suy ra $a=x$ ( VL) hoặc $x=y-1$ (VL)

 

Giả sử $a\geq y\geq x$

 

Khi đó $3\parallel 2013t=3^{a-x}-3^{y-x}.k=3^{y-x}(3^{a-y}-v)=2013t$ Dễ dàng suy ra $y-x=1\rightarrow y=x+1$

 

Thay vào ban đầu thì $3^x(9.671k+t)=3^b$ Nhận thấy $x<b\Rightarrow 3|9.671k+t\rightarrow 3|t$ (VL)

 

b)

 

Áp dụng bổ đề: $p\in \mathbb{P}$, $p=3k+2$. Nếu $a^3\equiv -b^3$ (mod p) thì $a\equiv -b$ (mod p)

 

Chứng minh:

 

+ Nếu $p|a,b$ thì suy ra đpcm

 

+ Nếu $(a,p)=(b,p)=1$. Áp dụng định lý Fermat nhỏ

 

$\left\{\begin{matrix} a^{p-1}\equiv 1(mod p) & \\ b^{p-1}\equiv 1(mod p) & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3k+1}\equiv -b^{3k}.a\equiv 1(mod p) & \\ b^{3k+1}\equiv 1(mod p) & \end{matrix}\right.\rightarrow p|b^{3k}(b+a)$

 

Mà $(b^{3k},p)=1$ suy ra $p|b+a$ (đpcm)

 

Từ $p|a^2-ab+b^2$ suy ra $p|a^3+b^3$ suy ra $p|a+b$ 

 

Khi đó $p|(a+b)^2-3ab$ nên $p|3ab$. $p\neq 3$ nên $p|ab$. Kết hợp $p|a+b$ suy ra $p|a,b$