Chủ đề này có 1 trả lời

[tieuthapnhatlang]

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE = BC = CF. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O).

CMR: $MA+MB+MC\leq EF$

Xác định vị trí của M trên đường tròn (O) để MA + MB + MC = EF

[dogsteven]

Ta chỉ cần xét khi $M$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$ vì khi lấy điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $BC$ thì hiển nhiên $MA \geqslant M'A$.

 

Áp dụng đẳng thức Ptolemy và BDT Cauchy-Schwarz:

$(MA+MB+MC)^2=\dfrac{1}{BC^2}(MA.BC+MB.BC+MC.BC)^2 \\= \dfrac{1}{BC^2}[MB(BC+AC)+MC(BC+AB)]^2 \leqslant AE^2+AF^2=EF^2 \Leftrightarrow MA+MB+MC\leqslant EF$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{MB}{AF}=\dfrac{MC}{AE}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 16-10-2014 - 18:44