a, Đầu tiên, ta có bổ để sau:
Bổ đề: Cho điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$ của $\triangle ABC$. Chứng minh rằng: $\vec{AM}=\dfrac{MC}{BC}\vec{AB}+\dfrac{MB}{BC}\vec{AC}$
Chứng minh:
Lấy $D\in AC: \ DM//AB$
Ta có: $\vec{AD}+\vec{DM}=\vec{AM}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AD}{AC}\vec{AC}+\dfrac{DM}{AB}\vec{AB}=\vec{AM} \ (1)$ (vì $\vec{AD}\uparrow\uparrow\vec{AC}$, $\vec{DM}\uparrow\uparrow\vec{AB}$)
Áp dụng định lý $Thales$ ($DM//AB$) ta có:
$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BM}{BC}; \dfrac{DM}{AB}=\dfrac{MC}{BC} \ (2)$
$(1),(2) \Rightarrow \vec{AM}=\dfrac{MC}{BC}\vec{AB}+\dfrac{MB}{BC}\vec{AC} \ _\square$
Bổ đề được chứng minh xong
Quay trở lại bài toán.
Áp dụng bổ đề cho $\triangle IBC$ và điểm $M$ ta có:
$\vec{IM}=\dfrac{BM}{BC}\vec{IC}+\dfrac{MC}{BC}\vec{IB}$
Mặt khác: $\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{S_{IMC}}{S_{IMB}}=\dfrac{S_{IAC}}{S_{IAB}}$
Suy ra: $\dfrac{MC}{BC}=\dfrac{S_{IAC}}{S_{IAB}+S_{IAC}}; \dfrac{MB}{BC}=\dfrac{S_{IAB}}{S_{IAB}+S_{IAC}}$
Suy ra: $\vec{IM}=\dfrac{S_{IAC}}{S_{IAB}+S_{IAC}}\vec{IB}+\dfrac{S_{IAB}}{S_{IAB}+S_{IAC}}\vec{IC} \ (3)$
Nhưng ta lại có: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{S_{IMB}}{S_{IAB}}=\dfrac{S_{IMC}}{S_{IAC}}=\dfrac{S_{IMB}+S_{IMC}}{S_{IAB}+S_{IAC}}=\dfrac{S_{IBC}}{S_{IAB}+S_{IAC}}\\ \vec{IM}\uparrow\downarrow\vec{IA}\end{matrix}\right.$
Suy ra: $\vec{IM}=\dfrac{-S_{IBC}}{S_{IAB}+S_{IAC}}\vec{IA} \ (4)$
Lấy từng vế của $(3)$ trừ đi $(4)$ ta thu được
$S_{IBC}\overrightarrow{IA}+S_{ICA}\overrightarrow{IB}+S_{ICA}\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \ _\square$
Biểu thức thứ hai hình như chưa đúng thì phải.
