Cho ba số thực dương $x, y$ và $z$ thỏa mãn:
$x+y+z+1=4xyz$.
Chứng minh rằng:
$xy+yz+zx\geq x+y+z$.
#1
Đã gửi 22-10-2014 - 18:41
Livetolove220797
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
#2
Đã gửi 22-10-2014 - 20:11
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
$(x;y;z)=\left (\dfrac{b+c}{2a}; \dfrac{c+a}{2b}; \dfrac{a+b}{2c} \right)$
$xy+yz+zx \ge x+y+z \Leftrightarrow \sum \dfrac{c(b+c)(c+a)}{4abc} \ge \sum \dfrac{2bc(b+c)}{4abc}$
$\Leftrightarrow a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+a) \ge 2ab(a+b)+2bc(c+c)+2ca(c+a)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
- nguyenhongsonk612 và Livetolove220797 thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#3
Đã gửi 23-10-2014 - 00:20
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Cho ba số thực dương $x, y$ và $z$ thỏa mãn:$x+y+z+1=4xyz$.Chứng minh rằng:$xy+yz+zx\geq x+y+z$.
Một cách khác!
Giải:
Đặt $(x;y;z)=(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})$. BĐT cần C/m $\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$
Từ GT $\Rightarrow ab+bc+ca+abc=4$
$\Rightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$.
Đặt $a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}$
BĐT cần C/m $\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\geq mn(m+n)+np(n+p)+pm(p+m)$ (BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT Schur)
Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$
- Livetolove220797 yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 23-10-2014 - 05:01
Livetolove220797
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
$(x;y;z)=\left (\dfrac{b+c}{2a}; \dfrac{c+a}{2b}; \dfrac{a+b}{2c} \right)$
$xy+yz+zx \ge x+y+z \Leftrightarrow \sum \dfrac{c(b+c)(c+a)}{4abc} \ge \sum \dfrac{2bc(b+c)}{4abc}$
$\Leftrightarrow a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+a) \ge 2ab(a+b)+2bc(c+c)+2ca(c+a)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Bạn có thể giải thích tại sao lại đặt được như vậy không?
#5
Đã gửi 23-10-2014 - 05:02
Livetolove220797
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Một cách khác!
Giải:
Đặt $(x;y;z)=(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})$. BĐT cần C/m $\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$
Từ GT $\Rightarrow ab+bc+ca+abc=4$
$\Rightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$.
Đặt $a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}$
BĐT cần C/m $\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\geq mn(m+n)+np(n+p)+pm(p+m)$ (BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT Schur)
Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$
Bạn có thể giải thích và chứng minh cách đặt trên được không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Livetolove220797: 23-10-2014 - 05:03
#6
Đã gửi 23-10-2014 - 12:00
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
Bạn có thể giải thích và chứng minh cách đặt trên được không?
Từ đẳng thức: $\dfrac{4ab(a+b)+4bc(b+c)+4ca(c+a)+8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=4$ ta suy ra được cách đặt $x=\dfrac{2a}{b+c}; y=...$ với $xy+yz+zx+xyz=4$
Nghịch đảo lại là ra cách đặt của em ở trên.
- nguyenhongsonk612 và Livetolove220797 thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
