Chủ đề này có 2 trả lời

[TienDatptbt]

$Cho \left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a.b.c=10& \end{matrix}\right.$

CMR: $3(\frac{lga}{4^{lga}}+\frac{lgb}{4^{lgb}}+\frac{lgc}{4^{lgc}})\leq \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TienDatptbt: 25-10-2014 - 11:44

[chanhquocnghiem]

$Cho \left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a.b.c=10& \end{matrix}\right.$

CMR: $3(\frac{lga}{a^{lga}}+\frac{lgb}{a^{lgb}}+\frac{lgc}{a^{lgc}})\leq \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$

BĐT không đúng khi $a=1$ ; $b=2$ ; $c=5$ ---> đề sai !!!

 

Sửa lại đề :

CMR : $3\left ( \frac{lga}{4^{lga}}+\frac{lgb}{4^{lgb}}+\frac{lgc}{4^{lgc}} \right )\leqslant \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$

 

Chứng minh : Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $a\leqslant b\leqslant c \Rightarrow lga\leqslant lgb\leqslant lgc$ $\Rightarrow lga\leqslant \frac{1}{3}\leqslant lgc$

Đặt $M=4^{lg(bc)}$ ; $N=4^{lg(ac)}$ ; $P=4^{lg(ab)}$ $\Rightarrow M\geqslant N\geqslant P\geqslant 0$

Vì $3lgc-1\geqslant 0$ và $M\geqslant N\geqslant P\geqslant 0$ nên ta có :

$(3lgc-1).P\leqslant (3lgc-1).N=[(1-3lgb)+(1-3lga)].N\leqslant (1-3lgb).N+(1-3lga).M$ (1)

(các dấu bằng chỉ xảy ra khi $lga=lgb=lgc=\frac{1}{3}$ hay $a=b=c=\sqrt[3]{10}$)

(1) $\Leftrightarrow (3lgc-1).P+3lga.M+3lgb.N+P\leqslant (1-3lga).M+(1-3lgb).N+3lga.M+3lgb.N+P$

$\Leftrightarrow 3lga.M+3lgb.N+3lgc.P\leqslant M+N+P$ (2)

Chia 2 vế của (2) cho $4^{lg(abc)}$, ta có :

$3\left ( \frac{lga}{4^{lga}}+\frac{lgb}{4^{lgb}}+\frac{lgc}{4^{lgc}} \right )\leqslant \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$ (đpcm)

(Dấu bằng chỉ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{10}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-10-2014 - 11:37

[TienDatptbt]

BĐT không đúng khi $a=1$ ; $b=2$ ; $c=5$ ---> đề sai !!!

Khi $a=1$ ; $b=2$ ; $c=5$ thì VT=1.39 $<$ VP=2.03
Vẫn đúng mà thầy.
Cách của em là đặt x,y,z lần lượt là $lga,lgb,lgc$ $\Rightarrow$ $x+y+z=1$

Đánh giá $VP \geq \frac{1}{4}$ nhưng còn $VT$ khó đánh giá quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TienDatptbt: 24-10-2014 - 11:15