$Cho \left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a.b.c=10& \end{matrix}\right.$
CMR: $3(\frac{lga}{4^{lga}}+\frac{lgb}{4^{lgb}}+\frac{lgc}{4^{lgc}})\leq \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$
Edited by TienDatptbt, 25-10-2014 - 11:44.
$Cho \left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a.b.c=10& \end{matrix}\right.$
CMR: $3(\frac{lga}{4^{lga}}+\frac{lgb}{4^{lgb}}+\frac{lgc}{4^{lgc}})\leq \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$
Edited by TienDatptbt, 25-10-2014 - 11:44.
>>>>>>>>>>> Tìm GTNN
>>>>>>>>>>> CM BĐT loga
$Cho \left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a.b.c=10& \end{matrix}\right.$
CMR: $3(\frac{lga}{a^{lga}}+\frac{lgb}{a^{lgb}}+\frac{lgc}{a^{lgc}})\leq \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$
BĐT không đúng khi $a=1$ ; $b=2$ ; $c=5$ ---> đề sai !!!
Sửa lại đề :
CMR : $3\left ( \frac{lga}{4^{lga}}+\frac{lgb}{4^{lgb}}+\frac{lgc}{4^{lgc}} \right )\leqslant \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$
Chứng minh : Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $a\leqslant b\leqslant c \Rightarrow lga\leqslant lgb\leqslant lgc$ $\Rightarrow lga\leqslant \frac{1}{3}\leqslant lgc$
Đặt $M=4^{lg(bc)}$ ; $N=4^{lg(ac)}$ ; $P=4^{lg(ab)}$ $\Rightarrow M\geqslant N\geqslant P\geqslant 0$
Vì $3lgc-1\geqslant 0$ và $M\geqslant N\geqslant P\geqslant 0$ nên ta có :
$(3lgc-1).P\leqslant (3lgc-1).N=[(1-3lgb)+(1-3lga)].N\leqslant (1-3lgb).N+(1-3lga).M$ (1)
(các dấu bằng chỉ xảy ra khi $lga=lgb=lgc=\frac{1}{3}$ hay $a=b=c=\sqrt[3]{10}$)
(1) $\Leftrightarrow (3lgc-1).P+3lga.M+3lgb.N+P\leqslant (1-3lga).M+(1-3lgb).N+3lga.M+3lgb.N+P$
$\Leftrightarrow 3lga.M+3lgb.N+3lgc.P\leqslant M+N+P$ (2)
Chia 2 vế của (2) cho $4^{lg(abc)}$, ta có :
$3\left ( \frac{lga}{4^{lga}}+\frac{lgb}{4^{lgb}}+\frac{lgc}{4^{lgc}} \right )\leqslant \frac{1}{4^{lga}}+\frac{1}{4^{lgb}}+\frac{1}{4^{lgc}}$ (đpcm)
(Dấu bằng chỉ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{10}$)
Edited by chanhquocnghiem, 25-10-2014 - 11:37.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
BĐT không đúng khi $a=1$ ; $b=2$ ; $c=5$ ---> đề sai !!!
Khi $a=1$ ; $b=2$ ; $c=5$ thì VT=1.39 $<$ VP=2.03
Vẫn đúng mà thầy.
Cách của em là đặt x,y,z lần lượt là $lga,lgb,lgc$ $\Rightarrow$ $x+y+z=1$
Đánh giá $VP \geq \frac{1}{4}$ nhưng còn $VT$ khó đánh giá quá
Edited by TienDatptbt, 24-10-2014 - 11:15.
>>>>>>>>>>> Tìm GTNN
>>>>>>>>>>> CM BĐT loga
0 members, 1 guests, 0 anonymous users