Kì thi chọn đội tuyển thi HSG tỉnh năm học 2014-2015
Môn thi: Toán- Lớp 9(bài số 2)
Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài 1:
a. Rút gọn biểu thức: $Q= \sqrt{2014^{2}+2014^{2}2015^{2}+2015^{2}}$
b. Chứng minh rằng nếu: $\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy+bc}{a}$ thì:
$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\left ( ay-bx \right )\left ( cx-az \right )=a^{2}b^{3}c^{3}$
Bài 2: Giải các phương trình và bất phương trình:
a. $x^{3}+4x\sqrt{\left ( x-1 \right )^{3}}+3x^{2}-8x+4=0$
b. $\left | 4x^{3}-3x \right |\leq 1$
Bài 3:
a. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho $9+2^{2}$ là một số chính phương
b. Cho các số x,y,z thỏa mãn:
$\left ( x-y \right )^{2}+\left ( y-z \right )^{2}+\left ( z-x \right )^{2}=\left ( x+y-2z \right )^{2}+\left ( y+z-2x \right )^{2}+\left ( x+z-2y \right )^{2}$
Chứng minh rằng: x=y=z
Bài 4: Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD và CE của tam giác cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE=2BI.CI. Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?
Bài 5: Cho hai tam giác vuông ABC và ACD có chung cạnh huyền AD, trong đó B và C cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AD còn A và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BD; BE, CF là các đường cao thuộc cạnh huyền của hai tam giác đã cho. Gọi P là giao điểm của AC và BD, Q là giao điểm của BF và CE. Đường thẳng qua P song song với AD cắt BE và CF theo thứ tự tại K và L. Chứng minh:
a. $\frac{KP}{BE}=\frac{BP}{AB}=\frac{PC}{CD}=\frac{PL}{CF}$
b. PQ vuông góc với AD
Bài 6: Cho x,y,z>0 thỏa mãn điều kiện $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Tìm min của $P=\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}$