Chủ đề này có 1 trả lời

[vuotquatrongai98]

cho a,b,c >0 . Cm $\sum \frac{a+b}{a+b+2c}+2\frac{\sum ab}{3\sum a^{2}}\leq \frac{13}{6}$

[Hoang Tung 126]

cho a,b,c >0 . Cm $\sum \frac{a+b}{a+b+2c}+2\frac{\sum ab}{3\sum a^{2}}\leq \frac{13}{6}$

 BDT $< = > \sum (1-\frac{a+b}{a+b+2c})+\frac{2}{3}-\frac{2\sum ab}{3\sum a^2}\geq \frac{3}{2}< = > 2\sum \frac{c}{a+b+2c}+\frac{2\sum a^2-2\sum ab}{3\sum a^2}\geq \frac{3}{2}$

 

Theo Bunhia có :$2\sum \frac{c}{a+b+2c}=2\sum \frac{c^2}{ac+bc+2c^2}\geq 2.\frac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+2\sum ab}=\frac{(\sum a)^2}{\sum a^2+\sum ab}=\frac{\sum a^2+2\sum ab}{\sum a^2+\sum ab}=1+\frac{\sum ab}{\sum a^2+\sum ab}$

 

Do đó cần CM $1+\frac{\sum ab}{\sum a^2+\sum ab}+\frac{2\sum a^2-2\sum ab}{3\sum a^2}\geq \frac{3}{2}< = > \frac{\sum ab}{\sum a^2+\sum ab}-\frac{2\sum ab}{3\sum a^2}\geq \frac{-1}{6}$

 

Đặt $\sum a^2=x,\sum ab=y= > x\geq y$

 

 BDT $< = > \frac{y}{x+y}-\frac{2y}{3x}\geq \frac{-1}{6}< = > \frac{xy-2y^2}{3x(x+y) }\geq \frac{-1}{6}< = > 2(xy-2y^2)\geq -x(x+y)< = > x^2+3xy-4y^2\geq 0< = > (x-y)(x+4y)\geq 0< = > x\geq y$ (Luôn đúng)

 

 Do đó ta có ĐPCM. Dấu  =xảy ra khi $a=b=c$