1 reply to this topic

[trungdung97]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f([1+f(x)]f(y))= y+xf(y) $

Edited by sieusieu90, 28-10-2014 - 15:18.

[Near Ryuzaki]

Tìm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn $f([1+f(x)]f(y))= y+xf(y) $

Lời giải :  

Viết lại đề : $$f([1+f(x)]f(y))= y+xf(y)(1)$$

$$(1)\overset{x=0}{\Rightarrow}f([1+f(x)]f(y))=y$$

Từ đây chứng minh được $f$ là song ánh.

Do đó tồn tại $a$ để $f(a)=0$

$$(1)\overset{y=c}{\Rightarrow}f(0)=c$$

Tiếp tục :

$$(1)\overset{x=y=0}{\Rightarrow}f([1+c]c)=0$$

Vậy $$f([1+c]c)=f(c)$$

Hơn nữa do $f$ là song ánh

suy ra $$f(0)=0$$

$$(1)\overset{x=0}{\Rightarrow}f_2(y)=y(2)$$

Mặt khác 

$$(1)\overset{x=f(x)}{\Rightarrow}f(y[1+x])=f(y)+yf(x)(3), do (2)$$

Từ (3) thay $x=-1$ , dùng $f(0)=0$ và đặt $a=-f(-1)$ ta có :

$$f(y)=ay(4)$$

Thay (4) vào (1) và đồng nhất hệ số ta được $2$ hàm thoả đề là 

$$f(x)=x,f(x)=-x$$

Edited by sieusieu90, 28-10-2014 - 15:31.