Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH (H$\in$BC). Trên tia HC lấy D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a, Chứng minh rằng: $\Delta BEC$ và $\Delta ADC đồng dạng$. Tính độ dài BE theo m = AB
b, Gọi M là trung điểm BE. Chứng minh hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM.
c, Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: $\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}$
Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a, $E\in CD, F\in BC$ sao cho $\widehat{EAF}=45^{\circ}$. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến EF. Gọi M là giao AH và BD. Kẻ MP vuông góc DC, MQ vuông góc BC ($P\in CD, Q\in BC$). Xác định vị trí điểm M để tam giác APQ có diện tích nhỏ nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC tại E và F.
a, Chứng minh: DE + DF = 2AM
b, Đường thẳng qua A song song BC cắt EF tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm EF
c, Chứng minh: $S_{FDC}^{2}\geq 16 S_{AMC}.S_{FNA}$
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E, F thứ tự thuộc cạnh BC, AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE và BF cắt đường thẳng CD tại M và N.
a, Chứng minh; CM.DN=$a^{2}$
b, Gọi K là giao điểm NA và MB. Chứng minh $\widehat{MKN}=90^{\circ}$
c, Xác định vị trí các điểm E và F sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
