Chủ đề này có 1 trả lời

[Viet Hoang 99]

1) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa mãn $abcd=1$. Cmr:

$$P=\sum \dfrac{1}{(a+1)^2}\ge 1$$

2) Cho $a;b;c>0$ thỏa $ab+bc+ca=3$ và $a\ge c$. Tìm Min

$$P=\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{2}{(b+1)^2}+\dfrac{3}{(c+1)^2}$$

[banhgaongonngon]

1) Cho $a;b;c;d>0$ thỏa mãn $abcd=1$. Cmr:

$$P=\sum \dfrac{1}{(a+1)^2}\ge 1$$

2) Cho $a;b;c>0$ thỏa $ab+bc+ca=3$ và $a\ge c$. Tìm Min

$$P=\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{2}{(b+1)^2}+\dfrac{3}{(c+1)^2}$$

 

Trước hết ta có bất đẳng thức sau

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$$,\forall x,y>0$

(Chứng minh bằng cách khai triển)

 

1. Ta có

$\sum \frac{1}{(a+1)^{2}}\geq \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+cd}=1$

 

2. Cũng áp dụng bất đẳng thức trên ta được

$P\geq \frac{1}{1+ac}+\frac{2}{ 1+bc}\geq \frac{9}{3+ac+2bc}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{3}{2}$