Chủ đề này có 5 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

       1) $x^{3}+2y^{3}=4z^{3}$.(Dùng lùi vô hạn được thì càng tốt)

       2) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$.

       3) $x^{2}+y^{2}=7z^{2}$.

[SilentAssassin1998]

Câu 1:

Từ pt suy ra x chia hết cho 2. Đặt x = 2x'

Sau đó chia hai vế cho 2, suy ra y chia hết cho 2. Đặt y = 2y', thay vào pt

Chia hai vế tiếp cho 2, suy ra z chia hết cho 2. Đặt z = 2z', thay vào pt.

 

Ta thu được pt sau: $x'^{3} + 2y'^{3} = 4z'^{3}$

Tiếp tục thực hiện như thế, ta  sẽ suy ra được x, y, z chia hết cho $2^{k}$ với mọi k nguyên dương.

Từ đó suy ra nghiệm nguyên duy nhất của pt là (x; y; z) = (0; 0; 0)

 

Đúng là dùng pp lùi vô hạn.

[SilentAssassin1998]

Câu 2: Cũng dùng pp lùi vô hạn

 

Giả sử x, y, z đều lẻ. Khi đó, vế trái của pt lẻ, vế phải của pt chẵn, vô lý.

 

Vậy tồn tại một số chẵn trong x,y, z. Giả sử đó là x.

Khi đó đặt x = 2x', thay vào pt có $y^{2} + z^{2}$ chia hết cho 4 (*)

 

Ta có bổ đề: Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ dư 0 và 1.

 

Vậy từ (*) ta suy ra cả y và z đều phải chẵn. Khi đó đặt y = 2y' và z = 2z'

 

Ta thu được: $x'^{2} + y'^{2} + z'^{2} = 2x'y'z'$

 

Như vậy, tiếp tục, ta có thể cm được x, y, z chia hết cho $2^{k}$ với k nguyên dương tùy ý.

Từ đó, pt có nghiệm nguyên duy nhất: (x; y; z) = (0; 0; 0)

[SilentAssassin1998]

Còn câu 3, thì ta cm một bổ đề: Một số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0, 1, 4 hoặc 2

(Dễ dàng cm bằng cách xét TH)

 

Như thế, từ pt ta phải có x và y cùng chia hết cho 7. Tuy nhiên, khi đó cũng suy ra z chia hết cho 7.

Vậy, đặt x = 7x' ;   y = 7y';   z = 7z', ta có pt tương tự như đề bài

Từ đó, tiếp tục một cách tương tự, ta có x, y, z chia hết cho $7^k$ với k nguyên dương tùy ý

Suy ra nghiệm nguyên duy nhất của pt là (x; y; z) = (0; 0; 0)

 

Vậy, cả ba bài đều có thể sử dụng pp lùi vô hạn.

[duyanh782014]

Câu 2: Cũng dùng pp lùi vô hạn

 

Giả sử x, y, z đều lẻ. Khi đó, vế trái của pt lẻ, vế phải của pt chẵn, vô lý.

 

Vậy tồn tại một số chẵn trong x,y, z. Giả sử đó là x.

Khi đó đặt x = 2x', thay vào pt có $y^{2} + z^{2}$ chia hết cho 4 (*)

 

Ta có bổ đề: Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ dư 0 và 1.

 

Vậy từ (*) ta suy ra cả y và z đều phải chẵn. Khi đó đặt y = 2y' và z = 2z'

 

Ta thu được: $x'^{2} + y'^{2} + z'^{2} = 2x'y'z'$

 

Như vậy, tiếp tục, ta có thể cm được x, y, z chia hết cho $2^{k}$ với k nguyên dương tùy ý.

Từ đó, pt có nghiệm nguyên duy nhất: (x; y; z) = (0; 0; 0)

Cảm giác bạn thiếu cái gì đó thì phải

[SilentAssassin1998]

Nếu mình thiếu, thì bạn hãy chỉ ra chỗ ấy. Cảm ơn bạn nhiều