Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm giới hạn $\lim \frac{n^a}{a^n} (a>1)$

[phudinhgioihan]

Tìm giới hạn $\lim \frac{n^a}{a^n} (a>1)$

 

Kiên

 

Do $a>1$ nên $a^\frac{1}{a}=1+h \;, h>0$

 

Với $n \ge 2$, $(1+h)^n=\sum_{k=0}^n C_n^kh^k \ge \sum_{k=0}^2 C_n^k h^k=1+nh+\frac{1}{2}n(n-1)h^2$

 

Với $n \ge 2 $

 

Ta có: $0<\dfrac{n^a}{a^n}=\left( \dfrac{n}{a^\frac{n}{a}} \right)^a=\left( \dfrac{n}{(1+h)^n} \right)^a \le \left(\dfrac{n}{1+nh+\frac{1}{2}n(n-1)h^2} \right)^a \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$

 

Vậy $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^a}{a^n}=0$

[fghost]

Xét $\sum \frac{n^a}{a^n}$. Ta thấy

$$\frac{(n+1)^a a^n}{a^{n+1}n^a}=\frac{1}{a}(\frac{n+1}{n})^a \rightarrow \frac{1}{a}<1$$

 

Nên $\sum \frac{n^a}{a^n}$ hội tụ, nên $\frac{n^a}{a^n} \rightarrow 0$