Tìm giới hạn $\lim \frac{n^a}{a^n} (a>1)$
Tìm giới hạn $\lim \frac{n^a}{a^n} (a>1)$
#1
Đã gửi 31-10-2014 - 21:19
- duaconcuachua98 và A4 Productions thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#2
Đã gửi 14-01-2015 - 23:14
Tìm giới hạn $\lim \frac{n^a}{a^n} (a>1)$
Kiên
Do $a>1$ nên $a^\frac{1}{a}=1+h \;, h>0$
Với $n \ge 2$, $(1+h)^n=\sum_{k=0}^n C_n^kh^k \ge \sum_{k=0}^2 C_n^k h^k=1+nh+\frac{1}{2}n(n-1)h^2$
Với $n \ge 2 $
Ta có: $0<\dfrac{n^a}{a^n}=\left( \dfrac{n}{a^\frac{n}{a}} \right)^a=\left( \dfrac{n}{(1+h)^n} \right)^a \le \left(\dfrac{n}{1+nh+\frac{1}{2}n(n-1)h^2} \right)^a \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$
Vậy $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^a}{a^n}=0$
#3
Đã gửi 15-01-2015 - 00:59
Xét $\sum \frac{n^a}{a^n}$. Ta thấy
$$\frac{(n+1)^a a^n}{a^{n+1}n^a}=\frac{1}{a}(\frac{n+1}{n})^a \rightarrow \frac{1}{a}<1$$
Nên $\sum \frac{n^a}{a^n}$ hội tụ, nên $\frac{n^a}{a^n} \rightarrow 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh