Chủ đề này có 6 trả lời

[mysteriousgalaxy]

 chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0 và abc=1

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{9}{2}$

[dogsteven]

$(BDT) \Leftrightarrow (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+\dfrac{-(a-b)^2}{a^2+b^2}+\dfrac{-(b-c)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{-(c-a)^2}{c^2+a^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow \sum (b-c)^2. \left(a+b+c-\dfrac{1}{b^2+c^2} \right ) \geqslant 0$

 

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$

 

$S_{b}=a+b+c-\dfrac{1}{a^2+c^2}=b+c+\dfrac{a^3+ac^2-1}{a^2+c^2} \geqslant b+c+\dfrac{ac^2}{a^2+c^2}>0$

 

$S_{b}+S_{a}=2(a+b+c)-\dfrac{1}{b^2+c^2}-\dfrac{1}{c^2+a^2}\geqslant 2(a+b+c)-\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}>0$

 

$S_{b}+S_{c}=2(a+b+c)-\dfrac{1}{a^2+b^2}-\dfrac{1}{c^2+a^2} \geqslant 2(a+b+c)-\dfrac{c}{2}-\dfrac{b}{2}>0$

 

Theo S.O.S, bất đẳng thức được chứng minh.

[khanghaxuan]

$(BDT) \Leftrightarrow (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+\dfrac{-(a-b)^2}{a^2+b^2}+\dfrac{-(b-c)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{-(c-a)^2}{c^2+a^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow \sum (b-c)^2. \left(a+b+c-\dfrac{1}{b^2+c^2} \right ) \geqslant 0$

 

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$

 

$S_{b}=a+b+c-\dfrac{1}{a^2+c^2}=b+c+\dfrac{a^3+ac^2-1}{a^2+c^2} \geqslant b+c+\dfrac{ac^2}{a^2+c^2}>0$

 

$S_{b}+S_{a}=2(a+b+c)-\dfrac{1}{b^2+c^2}-\dfrac{1}{c^2+a^2}\geqslant 2(a+b+c)-\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}>0$

 

$S_{b}+S_{c}=2(a+b+c)-\dfrac{1}{a^2+b^2}-\dfrac{1}{c^2+a^2} \geqslant 2(a+b+c)-\dfrac{c}{2}-\dfrac{b}{2}>0$

 

Theo S.O.S, bất đẳng thức được chứng minh.

Chỗ đó bạn giải rõ hơn đi . Tại sao bạn lại đưa về được chỗ đó ?. 

[dogsteven]

Chỗ đó bạn giải rõ hơn đi . Tại sao bạn lại đưa về được chỗ đó ?. 

 

$(BDT) \Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3-3)+\sum\left ( \dfrac{2ab}{a^2+b^2}+1 \right) \geqslant 0$ (Easy)

$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3-3abc)-\sum \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2} \geqslant 0$ (No problem?)

$\Leftrightarrow (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] -\sum \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$ (We have $2(a^3+b^3+c^3-3abc)=(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$ and $2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$)

 

P/s: cai unikey cua em no bi sao roi, khong go tieng viet duoc nua

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 02-11-2014 - 15:36

[binhnhaukhong]

Đây là bài T6/444 trong THTT cách giải bài nầy dễ hiểu hơn nhiều!

[Katyusha]

Đây là bài T6/444 trong THTT cách giải bài nầy dễ hiểu hơn nhiều!

Bạn có thể viết lời giải trên báo giúp mình được không

[Nguyenhuyen_AG]

 chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0 và abc=1

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{9}{2}$

 

Một lời giải bằng Cauchy-Schwarz.   Ta viết bài toán về dạng thuần nhất như sau

\[\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{9}{2},\]

tương đương với

\[\frac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{abc}+\frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}}+\frac{(b+c)^2}{b^{2}+c^{2}}+\frac{(c+a)^2}{c^{2}+a^{2}}\geqslant 12.\]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

\[\frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}}+\frac{(b+c)^2}{b^{2}+c^{2}}+\frac{(c+a)^2}{c^{2}+a^{2}}\geqslant \frac{\left (\displaystyle\sum a+b \right )^2}{\displaystyle\sum \left ( a^2+b^2 \right )}=\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}=2+\frac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}.\]

Vậy ta cần chứng minh

\[\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geqslant 5,\]

hay là

\[\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3\geqslant 2\left (1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}   \right ),\]

\[\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}\geqslant \frac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{a^2+b^2+c^2},\]

\[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geqslant 2abc.\]

Nhưng ta luôn có

\[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geqslant 9abc > 2abc.\]

Ta có điều phải chứng minh.