Chủ đề này có 9 trả lời

[E. Galois]

Câu 1 (2,5đ)

a) Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y=x^3+3mx^2+3(m+1)x+2$ nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn $4$.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $a$, đường thẳng $d:y=x+a$ luôn cắt đồ thị hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1} \ \ (H)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $k_1,k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $(H)$ tại $A,B$. Tìm $a$ để tổng $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất.

 

Câu 2 (2,0 đ)

a) Giải phương trình: $2\cos^2x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1 = 3 \left( \sin x + \sqrt{3}\cos x \right)$

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số $\overline{abc}$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b \leq c$.

 

Câu 3 (1,5đ)

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3-3x^2+6y^2=-6x+15y-10\\ y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x\end{matrix}\right.$$

 

Câu 4 (1,5đ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trung điểm cạnh $BC$ là $M(3;-1)$, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh $B$ đi qua $E(-1;-3)$ và đường thẳng chứa cạnh $AC$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết rằng điểm đối xứng của $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $D(4;-2)$.

 

Câu 5 (1,5đ) 

Cho hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{5}, SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích khối chóp $S.MCD$ và khoảng cách giữa $SM,CD$.

 

Câu 6 (1,0đ)

Cho các số thực $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng: 

$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-11-2014 - 19:21

[duaconcuachua98]

Câu $2$: $a/$ pt tương đương $cos2x+\sqrt{3}sin2x+2=3(sinx+\sqrt{3}cosx)\Leftrightarrow cos\left ( 2x-\frac{\pi}{3} \right )+1=3cos\left ( x-\frac{\pi}{6} \right )$

Đặt $cos\left ( x-\frac{\pi}{6} \right )=a\left ( -1\leq a\leq 1 \right )$

Pt trở thành $cos2a+1=3cosa\Leftrightarrow 2cos^{2}a-3cosa=0\Leftrightarrow cos\left ( x-\frac{\pi}{6} \right )=0\Leftrightarrow x=\frac{2\pi}{3}+k\pi\left ( k\in Z \right )$

[duaconcuachua98]

Câu $2b$: 

Nhận thấy trong ba số $a,b,c$ không thể có số $0$

+)Trường hợp $1$: $a=b=c$ sẽ có $9$ số

+)Trường hợp $2$: $a=b< c$, ta cần chọn ra $2$ bất kì trong $9$ số nên có $C_{9}^{2}$ cách

Với mỗi cách chọn $2$ số thì sẽ chỉ có $1$ cách sắp xếp $a,b,c$

Nên trường hợp này có $36$ số

+)Trường hợp $3$: $a< b=c$ tương tự cũng có $36$ số

Vậy có tất cả $81$ số 

[duaconcuachua98]

Câu $3$

Phương trình $(1)$ tương đương:

$\left ( x-1 \right )^{3}+3x=\left ( y-2 \right )^{3}+3(y-1)$

Xét hàm $f(t)=t^{3}+3(t+1)\Rightarrow f'(t)=3t^{2}+3> 0\forall t$

Suy ra hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$

Nên $x-1=y-2\rightarrow x=y-1$

Thế vào $(2)$ ta được: $y\sqrt{y+2}+(y+6)\sqrt{y+9}=y^{2}+4y-4\Leftrightarrow y\sqrt{y+2}-21+(y+6)\sqrt{y+9}-52=y^{2}+4y-77\Leftrightarrow \frac{y^{3}+2y^{2}-441}{y\sqrt{y+2}+21}+\frac{y^{3}+21y^{2}+144y-2380}{(y+6)\sqrt{y+9}+52}=(y-7)(y+11)\Leftrightarrow y=7\rightarrow x=6$

Vậy hệ có nghiệm $(x,y)$ duy nhất là $(7;6)$

[Viet Hoang 99]

 

Câu 6 (1,0đ)

Cho các số thực $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng: 

$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$$

 

6)

Cách 1: http://diendantoanho...2b22c22leq-216/

 

Cách 2: 

cách sơ cấp, dùng $p,q,r$

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=8+4\sum a^2+2\sum a^2b^2+a^2b^2c^2=8+4\left ( \sum a \right )^2-8\sum ab+2\left ( \sum ab \right )^2-\left ( 24-abc \right )abc\le 216$

$\Leftrightarrow 2\sum ab.\left ( \sum ab-4 \right )\le 64+abc\left ( 24-abc \right )$

Tính $f(q)$ hoặc $f(r)$ cái nào được thì dùng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 02-11-2014 - 20:07

[E. Galois]

Câu $2b$: 

Nhận thấy trong ba số $a,b,c$ không thể có số $0$

+)Trường hợp $1$: $a=b=c$ sẽ có $9$ số

+)Trường hợp $2$: $a=b< c$, ta cần chọn ra $2$ bất kì trong $9$ số nên có $C_{9}^{2}$ cách

Với mỗi cách chọn $2$ số thì sẽ chỉ có $1$ cách sắp xếp $a,b,c$

Nên trường hợp này có $36$ số

+)Trường hợp $3$: $a< b=c$ tương tự cũng có $36$ số

Vậy có tất cả $81$ số 

Cách làm này Sai.

Thiếu trường hợp $a<b<c$.

 

Ta cần tìm bộ ba số $a,b,c$ thỏa mãn:

$$1 \leq a \leq b \leq c \leq 9 \Leftrightarrow 1 \leq a < b +1 < c+ 2 < 9 +3 = 11$$

Như vậy ta chỉ cần chọn 3 số trong các số từ 1 đến 11 là xong. Ta có $C_{11}^3=165$ số

[duaconcuachua98]

Cách làm này Sai.

Thiếu trường hợp $a<b<c$.

 

Ta cần tìm bộ ba số $a,b,c$ thỏa mãn:

$$1 \leq a \leq b \leq c \leq 9 \Leftrightarrow 1 \leq a < b +1 < c+ 2 < 9 +3 = 11$$

Như vậy ta chỉ cần chọn 3 số trong các số từ 1 đến 11 là xong. Ta có $C_{11}^3=165$ số

Em xét thiếu, trương hợp này có $C_{9}^{3}=84$ số

Vậy có $84+81=165$ số 

[phan huong]

 

Câu 4 (1,5đ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trung điểm cạnh $BC$ là $M(3;-1)$, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh $B$ đi qua $E(-1;-3)$ và đường thẳng chứa cạnh $AC$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết rằng điểm đối xứng của $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $D(4;-2)$.

 

Ta có tứ giác EHFM là tứ giác nội tiếp đường kính HM ( MF=ME =$\sqrt{20}$, EF=$\sqrt{40}$ => EM vuông góc FM)

từ đó =>$\widehat{EHM}=\widehat{EFM}=45^{\circ}, \widehat{MHF}=\widehat{FEM}=45^{\circ}=> \widehat{EHM}=\widehat{MHF}$

hay HM là tia phân giác góc BHC. Mà M là trung điểm của BC => tam giác HBC vuông cân tại H hay HM vuông góc với BC.

Dễ thấy MD//AH ( cùng vuông góc BH) . Phương trình MD:x + y -2 =0 => pt AC :x + y - 4 = 0 từ đó pt BH :x - y -2 = 0 => H( 3, 1) .

Pt BC : y + 1= 0  => B(1, -1 )  , C(5, -1 ) , A(7 , -3 )

[dogsteven]

 

6)

Cách 1: http://diendantoanho...2b22c22leq-216/

 

Cách 2: 

cách sơ cấp, dùng $p,q,r$

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=8+4\sum a^2+2\sum a^2b^2+a^2b^2c^2=8+4\left ( \sum a \right )^2-8\sum ab+2\left ( \sum ab \right )^2-\left ( 24-abc \right )abc\le 216$

$\Leftrightarrow 2\sum ab.\left ( \sum ab-4 \right )\le 64+abc\left ( 24-abc \right )$

Tính $f(q)$ hoặc $f(r)$ cái nào được thì dùng.

 

 

Đặt $P=(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \Leftrightarrow \ln P = \ln (a^2+2)+\ln (b^2+2)+\ln(c^2+2)$

 

Đến đây dùng phương pháp tiếp tuyến 

 

Xét hàm số $f(t)=\ln (t^2+2)-\dfrac{2}{3}t-\ln6+\dfrac{4}{3}$ trên $[1;4]$

 

Ta có $f'(t)=0 \Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=2$ và ta có $f''(2)<0$ nên $f(t)\leqslant f(2)=0$

 

Vì vậy mà $\ln P \leqslant \dfrac{2}{3}(a+b+c)+\ln 216-\dfrac{12}{3}=\ln 216 \Leftrightarrow P \leqslant 216$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 03-11-2014 - 18:38

[MoonAndSun]

Còn câu 5 có ai giải dc chưa,cho em xin cái đáp án luôn đi ak.