Câu 1 (2,5đ)
a) Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y=x^3+3mx^2+3(m+1)x+2$ nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn $4$.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $a$, đường thẳng $d:y=x+a$ luôn cắt đồ thị hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1} \ \ (H)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $k_1,k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với $(H)$ tại $A,B$. Tìm $a$ để tổng $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (2,0 đ)
a) Giải phương trình: $2\cos^2x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 1 = 3 \left( \sin x + \sqrt{3}\cos x \right)$
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số $\overline{abc}$ thỏa mãn điều kiện $a\leq b \leq c$.
Câu 3 (1,5đ)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3-3x^2+6y^2=-6x+15y-10\\ y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x\end{matrix}\right.$$
Câu 4 (1,5đ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trung điểm cạnh $BC$ là $M(3;-1)$, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh $B$ đi qua $E(-1;-3)$ và đường thẳng chứa cạnh $AC$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$, biết rằng điểm đối xứng của $A$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $D(4;-2)$.
Câu 5 (1,5đ)
Cho hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{5}, SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính thể tích khối chóp $S.MCD$ và khoảng cách giữa $SM,CD$.
Câu 6 (1,0đ)
Cho các số thực $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:
$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-11-2014 - 19:21