Chủ đề này có 1 trả lời

[duaconcuachua98]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)(1+y)=2xy(3y-x^{2}),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 04-11-2014 - 21:21

[9nho10mong]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)(1+y)=2xy(3y-x^{2}),\forall x,y\in \mathbb{R} \quad{(1)}$

 

Trong $ \displaystyle (1) $ cho $ \displaystyle y=1 $ có

$$ f \left( x+1 \right) + f \left( x -1 \right) - 4 f \left( x \right) = 2x \left( 3-x^2 \right) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(2)}  $$

Trong $ \displaystyle (1) $ cho $ \displaystyle y=-1 $ có

$$ f \left( x-1 \right) + f \left( x +1 \right) = -2x \left( -3-x^2 \right) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(3)}  $$

Từ $ \displaystyle (2) , (3) $ có

$$ 4 f \left( x \right) + 2x \left( 3 -x^2 \right) = -2 x \left( -3 -x^2 \right) \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$

Từ $ \displaystyle (4) $ suy ra

$$ f \left( x \right) = x^3 \ ; \ \forall x \in \mathbb{R} $$

 

Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn bài toán .