1 reply to this topic

[binvippro]

Cho các số a,b,c thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh $\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}\geq a+b+c$

Tự hào là thành viên VMF

[phuocdinh1999]

Cho các số a,b,c thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh $\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}\geq a+b+c$

Tự hào là thành viên VMF

Theo nguyên tắc Dirichlet, trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$, tồn tại 2 số có tích không âm, giả sử $(b-1)(c-1) \geq 0$ hay $bc \geq b+c-1(*)$

 

Áp dụng Minkowski: $\sqrt{b^2-b+1}+\sqrt{c^2-c+1}=\sqrt{(b-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}+\sqrt{(c-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\geq \sqrt{(b+c-1)^2+3}$ 

 

Xét $\sqrt{(b+c-1)^2+3}-(b+c)=\frac{4-2(b+c)}{\sqrt{(b+c-1)^2+3}+(b+c)}\geq \frac{2-bc}{\sqrt{b^2c^2+3}+bc+1}$ (theo$(*)$)

      $=\frac{2a-2}{\sqrt{3a^2+1}+a+1}$

 

Ta cần cm: $\sqrt{a^2-a+1}+\frac{2a-2}{\sqrt{3a^2+1}+a+1}\geq a$ $\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^2(a-1)^2\geq 0$ (đúng)