Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Du Duong]

CMR:$ 2(a + b + c)\geqslant \sqrt{a^{2}+3}+\sqrt{b^{2}+3}+\sqrt{c^{2}+3}$

Với a,b,c > 0 và abc=1

[dogsteven]

Xét hàm số $f(t)=\sqrt{t^2+3}-2t+\dfrac{3}{2}\ln t$

 

Ta có $f'(t)=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+3}}-2+\dfrac{3}{2t}=0 \Leftrightarrow t=1$

 

Ta cũng có $f''(1)<0 \Rightarrow f(t) \leqslant f(1)=0$

 

$\Rightarrow \sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\leqslant 2(a+b+c)-\dfrac{3}{2}\ln abc=2(a+b+c)$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[Nguyentiendung9372]

Do 2 vế không âm nên bình phương 2 vế ta thu được BĐT tương đương

$4{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge {\left( {\sum {\sqrt {{a^2} + 3} } } \right)^2} \Leftrightarrow 4\left( {\sum {{a^2}}  + 2\sum {ab} } \right) \ge \sum {{a^2}}  + 9 + 2\sum {\sqrt {{a^2} + 3} \sqrt {{b^2} + 3} } $

$ \Leftrightarrow 3\sum {{a^2}}  + 8\sum {ab}  \ge 2\sum {\sqrt {{a^2} + 3} \sqrt {{b^2} + 3} }  + 9$

Áp dụng AM - GM, ta có

$2\sqrt {{a^2} + 3} \sqrt {{b^2} + 3}  \le {a^2} + {b^2} + 6$

Tương tự suy ra

$2\sum {\sqrt {{a^2} + 3} \sqrt {{b^2} + 3} }  \le 2\sum {{a^2}}  + 18$

Vậy ta chỉ cần chứng minh

$\sum {{a^2}}  + 8\sum {ab}  \ge 27$, hiển nhiên đúng theo AM - GM

Dấu bằng khi $a=b=c=1$