1 Bình chọn
Binh nhất
Bài 1:
a,b,c > 0. CMR:
$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \leq 8$
Bài 2:
a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ca)$
Tìm GTLN, GTNN: $F=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$
P/s: Nhân tiện mong AE VMF giải thích cho mình về phương pháp chuẩn hóa, thuần nhất với. Mình đọc mấy cái t.f(x) gì gì đó mà không hiểu gì cả.
TKS.
"Chúng ta bên nhau như một gia đình chỉ trong cuộc đời này thôi, dù bạn thích hay không. Vì thế, hãy trân trọng và nâng niu khi chúng ta bên nhau, chia sẻ, gắn bó. Dù muốn hay không, chúng ta sẽ không thể gặp nhau ở kiếp sau..."
$\textbf{Trương Việt Hoàng}$
Bài 1:
a,b,c > 0. CMR:
$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \leq 8$
Bài 2:
a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ca)$
Tìm GTLN, GTNN: $F=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$
P/s: Nhân tiện mong AE VMF giải thích cho mình về phương pháp chuẩn hóa, thuần nhất với. Mình đọc mấy cái t.f(x) gì gì đó mà không hiểu gì cả.
TKS.
1)
Chuẩn hóa $a+b+c=3$
$$\sum \frac{(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\le 8$$
Ta đi chứng minh
$$\frac{(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\le \frac{4}{3}a+\frac{4}{3}$$
Biến đổi tương đương ta được
$$\frac{(a-1)^2(4a+3)}{(a-1)^2+2}\ge 0$$
Cộng theo vế ta có đpcm.
Chuẩn hóa được khi BĐT thuần nhất, tức lấy $a=ka,~~b=kb,~~k=kc$ thì BĐT vẫn giữ nguyên!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-11-2014 - 22:02
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Thiếu úy
Bài 2:
a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ca)$
Tìm GTLN, GTNN: $F=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$
P/s: Nhân tiện mong AE VMF giải thích cho mình về phương pháp chuẩn hóa, thuần nhất với. Mình đọc mấy cái t.f(x) gì gì đó mà không hiểu gì cả.
TKS.
từ giả thiết ta có $(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca)$
đặt $x=\frac{a}{a+b+c},y=\frac{b}{a+b+c},z=\frac{c}{a+b+c}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\xy+yz+zx=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x\\yz=\frac{1}{4}-x(1-x) \end{matrix}\right.$
mà $(y+z)^2\geq 4yz\Rightarrow x\in \left [ 0,\frac{2}{3} \right ]$
ta có $F=\frac{x^3+y^3+z^3}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}=4(x^3+y^3+z^3)$
$=4\left [ x^3+(1-x)\left ( (1-x)^2-3\left ( \frac{1}{4}-x(1-x) \right ) \right ) \right ]=12x^3-12x^2+3x+1$
tới đây xét hàm được $-2\leq F\leq 1$
sự thật việc đặt của mình cũng có thể nói chuẩn hoán nhưng mình làm vậy bởi chuẩn hoán cho $ab+bc+ca,a^2+b^2+c^2$ ngay từ đầu thì khi tính $a+b+c$ sẽ ra hai trường hợp
NTP
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
Thiếu úy
P/s: Nhân tiện mong AE VMF giải thích cho mình về phương pháp chuẩn hóa, thuần nhất với. Mình đọc mấy cái t.f(x) gì gì đó mà không hiểu gì cả.
TKS.
còn việc chuẩn hóa là dành cho bđt thuần nhất
bđt thuần nhất là khi thay $a=tx,b=ty,c=tz$ thì bđt không thay đổi
ví dụ như CM $\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\geq 16$$(a,b,c>0)$
khi đặt $a=tx,b=ty,c=tz$ thì bđt vẫn không thay đổi
khi mới học cái chuẩn hóa này thì nghĩ tới câu hỏi sao lại có thể đặt $a+b+c=3,abc=1,...$ ta hiểu đơn giản như sau
nếu đặt $x=\frac{a}{a+b+c},y=\frac{b}{a+b+c},z=\frac{c}{a+b+c}\Rightarrow x+y+z=1$ và khi thay vào bđt ắt hẳn bđt sẽ không đổi
nếu đặt $x=\frac{a}{\sqrt[3]{abc}},y=\frac{b}{\sqrt[3]{abc}},z=\frac{c}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow xyz=1$
và mấy cách chuẩn hóa khác cũng tương tự như vậy
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 08-11-2014 - 20:35
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
Binh nhất
Tks bạn nhiều 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthandb: 08-11-2014 - 19:22
"Chúng ta bên nhau như một gia đình chỉ trong cuộc đời này thôi, dù bạn thích hay không. Vì thế, hãy trân trọng và nâng niu khi chúng ta bên nhau, chia sẻ, gắn bó. Dù muốn hay không, chúng ta sẽ không thể gặp nhau ở kiếp sau..."
Trung úy
còn việc chuẩn hóa là dành cho bđt đối xứng và thuần nhất
bđt đối xứng thì đã biết còn bđt thuần nhất là khi thay $a=tx,b=ty,c=tz$ thì bđt không thay đổi
ví dụ như CM $\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\geq 16$$(a,b,c>0)$
khi đặt $a=tx,b=ty,c=tz$ thì bđt vẫn không thay đổi
khi mới học cái chuẩn hóa này thì nghĩ tới câu hỏi sao lại có thể đặt $a+b+c=3,abc=1,...$ ta hiểu đơn giản như sau
nếu đặt $x=\frac{a}{a+b+c},y=\frac{b}{a+b+c},z=\frac{c}{a+b+c}\Rightarrow x+y+z=1$ và khi thay vào bđt ắt hẳn bđt sẽ không đổi
nếu đặt $x=\frac{a}{\sqrt[3]{abc}},y=\frac{b}{\sqrt[3]{abc}},z=\frac{c}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow xyz=1$
và mấy cách chuẩn hóa khác cũng tương tự như vậy
NTP
Nhận định này của em sai nhé.
Thiếu úy
Nhận định này của em sai nhé.
dạ,hình như thuần nhất thôi là được đúng không ạ,do em từng đọc tài liệu thì nó ghi là dành cho bđt đối xứng và hoán vị nhưng trong quá trình làm thì em thấy chỉ cần bđt thuần nhất thôi là được
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 08-11-2014 - 20:39
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
Trung úy
dạ,hình như thuần nhất thôi là được đúng không ạ,do em từng đọc tài liệu thì nó ghi là dành cho bđt đối xứng và hoán vị nhưng trong quá trình làm thì em thấy chỉ cần bđt thuần nhất thôi là được
NTP
Chỉ cần với bất đẳng thức thuần nhất là ta có thể chuẩn hóa được. Chuẩn hóa là một kỹ thuật khá quan trọng đặc biệt là với trong phương pháp U.C.T. Tuy nhiên có một số đã hiểu sai và to tát quá kỹ thuật này, thậm chí với số bạn rất giỏi bất đẳng thức nhưng không hiểu rõ được bản chất của chuẩn hóa. Ta có thể hiểu chuần hóa là phép đặt ẩn phụ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 08-11-2014 - 21:02
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
