Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn :$x^{3}+y^{4}\leqslant x^{2}+y^{3}$ Chứng minh rằng :x3+y3$\leq$ 2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 08-11-2014 - 22:14
$x^{3}+y^{4}\leqslant x^{2}+y^{3}$
Bắt đầu bởi huuhieuht, 07-11-2014 - 21:41
#1
Đã gửi 07-11-2014 - 21:41
huuhieuht
-
- Thành viên
-
- 191 Bài viết
Trung sĩ
- chardhdmovies yêu thích
Không có giới hạn tư duy nào của con người ngoài giới hạn do chính con người đặt ra (Napoleon Hill) 
#2
Đã gửi 08-11-2014 - 19:34
tthandb
-
- Thành viên
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
Ta có: $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$
Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)
Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :
$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left [ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y} \right )^{2} \right ]\left [ \left ( \sqrt{x^{3}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{y^{3}} \right )^{2} \right ]=\left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$
$\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ (2)
Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm
P/s: by thuan192
- chardhdmovies và firetiger06 thích
"Chúng ta bên nhau như một gia đình chỉ trong cuộc đời này thôi, dù bạn thích hay không. Vì thế, hãy trân trọng và nâng niu khi chúng ta bên nhau, chia sẻ, gắn bó. Dù muốn hay không, chúng ta sẽ không thể gặp nhau ở kiếp sau..."
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
