Cho a,b,c dương .CMR:
$\frac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\frac{b^2+ca}{(c+a)^2}+\frac{c^2+ab}{(a+b)^2} \geq \frac{3}{2}$
Cho a,b,c dương .CMR:
$\frac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\frac{b^2+ca}{(c+a)^2}+\frac{c^2+ab}{(a+b)^2} \geq \frac{3}{2}$
$$(BDT)\Leftrightarrow \sum \dfrac{3a^2-a^2-b^2-c^2}{(a+b+c-a)^2} \geqslant 0$$
Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$, áp dụng bất đẳng thức Chebyshev một hit là ra.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Cách khác dài hơn:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum \dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2} \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{\sum (a^2+bc)(b+c)^2}$$
Ta cần chứng minh:
$$2(a^4+b^4+c^4)+a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c) \geqslant 6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4: $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geqslant ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$
Vì vậy mà ta chỉ cần chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$
Theo bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz:
$$a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2\sqrt{(a^3b+b^3c+c^3a)(ab^3+bc^3+ca^3)} \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 12-11-2014 - 09:56
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Cách khác dài hơn:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum \dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2} \geqslant \dfrac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{\sum (a^2+bc)(b+c)^2}$$
Ta cần chứng minh:
$$2(a^4+b^4+c^4)+a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3+2abc(a+b+c) \geqslant 6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4: $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geqslant ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$
Vì vậy mà ta chỉ cần chứng minh: $a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$
Theo bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz:
$$a^3b+b^3c+c^3a+ab^3+bc^3+ca^3 \geqslant 2\sqrt{(a^3b+b^3c+c^3a)(ab^3+bc^3+ca^3)} \geqslant 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Còn cách nào đơn giản hơn ko,em còn chưa quen Schur,Chebyshev
Chung Anh
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh