Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Du Duong]

Viết 2004 số tự nhiên từ 1 đến 2004 theo 1 thứ tự nào đó được dãy số $a_{1}, a_{2},..., a_{2003}, a_{2004}$. Tìm GTLN của tổng:

$P = \sqrt{a_{1}+a_{2}} +\sqrt{a_{3}+a_{4}} +...+\sqrt{a_{2003}+a_{2004}}$ khi ta thay đổi thứ tự của dãy số

[Nguyentiendung9372]

Để cho tiện, ta đặt 

${a_1} + {a_2} = {x_1},{a_3} + {a_4} = {x_2},...,{a_{2003}} + {a_{2004}} = {x_{1002}}$

Ta cần tìm max của 

$P = \sum\limits_{k = 1}^{1002} {\sqrt {{x_k}} }$ với  $\sum\limits_{k = 1}^{1002} {{x_k}}  = 1002.2005$

Đến đây, áp dụng Cauchy - Schwarz, ta có

${\left( {\sum\limits_{k = 1}^{1002} {\sqrt {{x_k}} } } \right)^2} \le 1002.\sum\limits_{k = 1}^{1002} {{x_k}}  = {1002^2}.2005 \Rightarrow P \le 1002\sqrt {2005} $

Dấu bằng xảy ra khi 

${x_i} = {x_j} = 2005 \Leftrightarrow \left\{ {\left( {{a_1},{a_2}} \right),\left( {{a_3},{a_4}} \right),...,\left( {{a_{2003}},{a_{2004}}} \right)} \right\} = \left\{ {\left( {1,2004} \right),\left( {2,2003} \right),...,\left( {1002,1003} \right)} \right\}$ và các hoán vị

Vậy ${P_{\max }} = 1002\sqrt {2005} $