Max $P = \sqrt{a_{1}+a_{2}} +\sqrt{a_{3}+a_{4}} +...+\sqrt{a_{2003}+a_{2004}}$
#1
Đã gửi 13-11-2014 - 21:49
- Christian Goldbach, Mary Huynh, chardhdmovies và 3 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 15-11-2014 - 21:06
Để cho tiện, ta đặt
${a_1} + {a_2} = {x_1},{a_3} + {a_4} = {x_2},...,{a_{2003}} + {a_{2004}} = {x_{1002}}$
Ta cần tìm max của
$P = \sum\limits_{k = 1}^{1002} {\sqrt {{x_k}} }$ với $\sum\limits_{k = 1}^{1002} {{x_k}} = 1002.2005$
Đến đây, áp dụng Cauchy - Schwarz, ta có
${\left( {\sum\limits_{k = 1}^{1002} {\sqrt {{x_k}} } } \right)^2} \le 1002.\sum\limits_{k = 1}^{1002} {{x_k}} = {1002^2}.2005 \Rightarrow P \le 1002\sqrt {2005} $
Dấu bằng xảy ra khi
${x_i} = {x_j} = 2005 \Leftrightarrow \left\{ {\left( {{a_1},{a_2}} \right),\left( {{a_3},{a_4}} \right),...,\left( {{a_{2003}},{a_{2004}}} \right)} \right\} = \left\{ {\left( {1,2004} \right),\left( {2,2003} \right),...,\left( {1002,1003} \right)} \right\}$ và các hoán vị
Vậy ${P_{\max }} = 1002\sqrt {2005} $
- Dung Du Duong yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh