1 reply to this topic

[S dragon]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=2013$. Chứng minh: $\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}\leq1$

Edited by S dragon, 15-11-2014 - 15:49.

[Mikhail Leptchinski]

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=2013$. Chứng minh: $A=\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}$

Ta có:$\sqrt{2013a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{(a+c)(a+b)}$

Tương tự có:$A=\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

Áp dụng bất đẳng thức bunhia kovski có:

$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$

=>$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Tương tự có:$A\leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=671$

_Đây là bài toán xử lí khá hay của Crux.Bài toán gốc chỉ có chứng minh biểu thức $A\leq 1$ nên từ giả thiết biến đổi về dạng bất đẳng thức này