9 replies to this topic

[hoangngochai]

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn $z \ge 60$, $x + y + z = 100$. Tìm GTLN của $A=xyz$

[Long Cold Ice]

Ta nhận thấy dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20

=> z=3x=3y

Ta có:    $z+3x+3y\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

=>  $100+2(100-z)\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

mà $-2z\leq 120$

=> 300-120$\geq 3\sqrt[3]{9xyz}$

<=> xyz$\leq 24000$

MaxA=24000   ( dấu = xảy ra khi z=60 ; x=y=20 )

Edited by Long Cold Ice, 21-11-2014 - 20:49.

[thvn]

Một bài toán cực trị rời rạc liên quan trọng số rất hay.

Vậy nếu chúng ta thay đổi một chút như sau:

 

Bài toán

Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 

Thì kết quả sẽ như thế nào?

Edited by perfectstrong, 19-05-2023 - 14:36.

[Leonguyen]

Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 

Giả sử $x$ là số lớn nhất trong ba số trên, suy ra được $x\geq\frac{100}{3}$ $\Rightarrow x\geq 34$ (do $x$ là số nguyên dương).

(Từ đây ta đoán được dấu bằng xảy ra khi $x=34,$ $y=z=33$).

Áp dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:

$A=xyz\leq\frac{1}{4}x(y+z)^2=\frac{1}{4}x(100-x)^2=\frac{34}{33}\cdot\left(\frac{33x}{34}\cdot\frac{100-x}{2}\cdot\frac{100-x}{2}\right)$ $\leq \frac{34}{33}\cdot\frac{1}{27}\left(\frac{33x}{34}+\frac{100-x}{2}+\frac{100-x}{2}\right)^3$ $=\frac{34}{891}\left(100-\frac{x}{34}\right)^3$ $\leq\frac{34}{891}\left(100-\frac{34}{34}\right)^3=37026.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} y=z \\ \dfrac{33x}{34}=\dfrac{100-x}{2} \\ x=34 \end{matrix}\right. $ $\Leftrightarrow x=34,y=z=33.$

Vậy $\max A=37026\Leftrightarrow (x,y,z)=(34,33,33)$ và các hoán vị.

[perfectstrong]

Thử thay đổi một chút

Bài toán

Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + 2z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 

[thvn]

Thử thay đổi một chút

Bài toán

Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + 2z = 100$.

Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

 

Tôi nghĩ là bằng cách đặt $2z = t, B = 2A$ ta chuyển về bài toán: 

Bài toán

Cho $x, y, t$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + t = 100$. Tìm GTLN của biểu thức $B = xyt$.

Khi đó theo các kết quả trên thì A sẽ đạt GTLN tại $x = y = 33, t = 34$(hay $z = 17$)

Không biết có phản ví dụ nào cho cách suy nghĩ này không?

Nếu tổng quát $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) có được không?

Edited by perfectstrong, 21-05-2023 - 15:15.
LaTeX

[perfectstrong]

 

 

Tôi nghĩ là bằng cách đặt $2z = t, B = 2A$ ta chuyển về bài toán: 

Bài toán

Cho $x, y, t$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + t = 100$. Tìm GTLN của biểu thức $B = xyt$.

Khi đó theo các kết quả trên thì A sẽ đạt GTLN tại $x = y = 33, t = 34$(hay $z = 17$)

Không biết có phản ví dụ nào cho cách suy nghĩ này không?

Nếu tổng quát $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) có được không?

 

Suy nghĩ thầy đúng rồi Nếu nhìn vào điểm rơi của bài toán gốc thì sẽ thấy được lời giải tương tự cho $k=3,11,17$ (các ước số của $33, 34$). Nhưng nếu $k$ là số khác thì phải giải lại

[thvn]

   

Vì số các bộ (x,y,z) nguyên, không âm thỏa $x + y + kz = 100 (k\in N, 0\lt k\lt 100$) hữu hạn nên theo nguyên tắc cực hạn thì tích xyz luôn tồn tại GTNN và GTLN nhưng để giải thế nào cho thuyết phục thì cũng không dễ các bạn nhỉ!!!

Edited by thvn, 21-05-2023 - 15:43.

[perfectstrong]

Ta có bài toán tổng quát như sau:

Bài toán

Cho $x, y, z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $x + y + kz = 100$ với $k$ là một số nguyên dương cho trước $(1 \le k < 100)$. Tìm GTLN của biểu thức $A = xyz$.

Để ý rằng $x,y$ đối xứng, nên ta dự đoán điểm rơi là $x=y$ hoặc "xấp xỉ" nhau.

 

Và để chứng minh thì ta có thể dùng phương pháp dồn biến

[thvn]

Ta có bài toán tổng quát như sau:

Để ý rằng $x,y$ đối xứng, nên ta dự đoán điểm rơi là $x=y$ hoặc "xấp xỉ" nhau.

 

Và để chứng minh thì ta có thể dùng phương pháp dồn biến

 

Bạn nói đúng rồi, nhiều người cho rằng đây là bài toán phi đối xứng nhưng trên thực tế, về mặt toán học nó thuộc lớp các bài toán "có chứa yếu tố đối xứng hoặc đối xứng bộ phận".